Периметр равнобедренного треугольника

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 143.

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 143.

Периметр – это сумма длин всех сторон фигуры. Эта характеристика, наравне с площадью, одинаково востребована для всех фигур. Формула периметра равнобедренного треугольника логично вытекает из его свойств, но формула не столь сложна, как получение и закрепление практических навыков.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Формула вычисления периметра

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Это вытекает из определения и хорошо видно даже из названия фигуры. Именно из этого свойства и вытекает формула периметра:

P=2a+b, где b – это основание треугольника, a – значение боковой стороны.

Из формулы видно, что для нахождения периметра достаточно знать величину основания и одной из боковых сторон. Рассмотрим несколько задач на нахождение периметра равнобедренного треугольника. Задачи будем решать по мере возрастания сложности, это позволит лучше понять способ размышления, которому нужно следовать для нахождения периметра.

Задача 1

Треугольник АВС высотой ВM делится на два прямоугольных треугольника: АВM и ВСM. В треугольнике АВM катет ВM известен, катет АM равен половине основания треугольника АВС, так как ВM является медианой, биссектрисой и высотой. По теореме Пифагора найдем значение гипотенузы АВ.

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем периметр: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Задача 2

Эта задача осложнена отсутствием сведений о сторонах треугольника, но, зная значение высоты и угла, в прямоугольном треугольнике ABH можно найти катет AH, а после решение пойдет по тому же сценарию, что и в задаче 1.

Найдем AH через значение синуса:

$$sin (ABH)={BH\over AB}={1\over2}$$ – синус 30 градусов является табличным значением.

Выразим нужную сторону:

$$AB={{BH\over {1\over 2}}} =BH*2=10*2=20$$

Через котангенс найдем значение AH:

$$ctg(BAH)={AH\over BH}={1\over\sqrt{3}}$$

$$AH={BH\over\sqrt{3}}=10*\sqrt{3}=17,32$$ – получившееся значение округлим до сотых.

Найдем основание:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Теперь, когда все требуемые значения найдены, определим периметр:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Задача 3

При такой постановке задачи может показаться, что решений нет, ведь сложно выразить одну из сторон или высоту из имеющихся данных. Попробуем решить по-другому.

Обозначим высоту и половину основания латинскими буквами: BH=h и AH=a

Тогда основание будет равно: AC=AH+HC=AH*2=2a

Площадь: $$S={1\over 2}*AC*BH={1\over 2}*2a*h=ah$$

С другой стороны, значение h можно выразить из треугольника ABH через тангенс острого угла. Почему именно тангенс? Потому что в треугольнике ABH мы уже обозначили два катета a и h. Нужно выразить одно через другое. Два катета вместе связывают тангенс и котангенс. Традиционно к котангенсу и косинусу обращаются, только если не подходит тангенс или синус. Это не правило, можно решать так, как удобно, просто так принято.

$$tg(BAH)={h\over{a}}={1\over\sqrt{3}}$$

$$h={a\over\sqrt{3}}$$

Подставим полученное значение в формулу площади.

$$S=a*h=a*{a\over\sqrt{3}}={(a^2)\over\sqrt{3}}$$

Выразим a:

$$a=\sqrt{S*\sqrt{3}}=\sqrt{16*\sqrt{3}\over\sqrt{3}}=\sqrt{16}=4$$

Подставим значение a в формулу площади и определим значение высоты:

$$S=a*h={16\over\sqrt{3}}$$

$$h={S\over{a}}={{16\over\sqrt{3}}\over{4}}={4\over\sqrt{3}}=2,31$$– полученное значение округлим до сотых.

Через теорему Пифагора найдем боковую сторону треугольника:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2,31^2}=4,62$$

Подставим значения в формулу периметра:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Что мы узнали?

Мы разобрались подробно во всех тонкостях нахождения периметра равнобедренного треугольника. Решили три задачи разного уровня сложности, показав на примере, как решаются типовые задачи на решение равнобедренного треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда - пройдите тест.