Рациональные уравнения

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 153.

Рациональные уравнения – это еще один способ запутать учеников. Их очень часто путают с иррациональными и дробно-рациональными, а потому путаются в теории. Давайте разберем подробно каждый из видов уравнения: рационального, дробно-рационального и иррационального.

Что такое рациональное уравнение?

Рациональным уравнением или рациональным выражением в математике называются выражения, в которых нет знаков радикала или, выражаясь проще, корней. Любое выражение с корнем считается иррациональным.

Таким образом все уравнения разделяются на две большие части. Рациональными уравнениями считаются, уже привычные, линейные уравнения, степенные уравнения, включая квадратные, а так же дробные уравнения.

Каждый из подвидов решается по-разному. Линейные уравнения решаются с помощью перенесения множителей из одной части уравнения в другую, квадратные при помощи дискриминанта, по теореме Виета или через вынесение общих множителей, если уравнение неполное.

Степенное уравнение проще всего решить графически:

Левую часть приравнять к у. Таким образом получится функция.
Начертить функцию на каком-то участке х, включающем в себя и искомое значении.
Потом при значении у=0, найти значение х. Это и будет корень уравнения.

Зачастую этот способ является единственно возможным при решении степенных уравнений, хоть и не столь точным, как алгебраический метод.

Алгебраическим методом решения уравнений называется решение при помощи алгебраических преобразований.

Иррациональные уравнения

Что такое иррациональные уравнения? Это уравнения, содержащие в себе выражения под знаком корня любой степени. Для этих уравнений обязательно выполнение проверки и введение ОДЗ функции.

ОДЗ – это интервал значений, которые может принимать х.

Для подкоренных выражений четной степени ОДЗ это значения от 0 до плюс бесконечности. Равносильным будет запись неравенства $х>=0$

Приведем пример простейшего иррационального уравнения.

$$\sqrt{3х}=7$$

$$ОДЗ: 3х>0$$

$$x>0$$

$$\sqrt{3х}=7$$

$$3х=49$$

$x={49\over3}$ – вот и все решение. Иногда для решения иррациональных уравнений так же прибегают к графическому способу.

Дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональные уравнения – это уравнения, содержащие дробь. Разделение можно назвать условным, поскольку обычно после пары преобразований, уравнения сводятся к линейным или степенным, но есть и исключения.

В любом случае, для этого вида рациональных уравнений также важно ОДЗ.

Каково ОДЗ дробей? Оно должно включать единственное условие существования дроби: знаменатель не должен равняться нулю.

Специально, чтобы проверить возможность существования того или иного корня прочерчивают координатную прямую и на ней отмечают отрезками ОДЗ и получившиеся корни. Если корни не входят в ОДЗ их исключают из решения.

Что мы узнали?

Мы дали определение рациональных уравнений, выделили подвиды рациональных уравнений и поговорили о возможностях их решения. Отдельно поговорили о иррациональных уравнениях и дробно-рациональных уравнениях, отметили необходимость ОДЗ в некоторых видах уравнений и привели небольшой пример.