Не умолкая или неумолкая?

Частица “не” со словом “умолкая” пишется только раздельно.

Правописание объясняется тем, что по правилу русского языка “не” с глаголами и деепричастиями всегда пишется раздельно. Раздельное написание сохраняется во всех личных формах и временах. Исключениями являются только те слова, которые без “не” в литературном языке не употребляются.

Примеры:

Варя болтала не умолкая, а взрослые слушали и улыбались.