В центре или по центру?

Акцент на нахождении точки ровно посередине геометрической фигуры (Поставить точку в центре).

Если речь идет о помещении (торговый центр, например), то “в центре” означает нахождение внутри (Я сейчас в центре)

Тут уже речь не только о точке, а также и о линии, которая может проходить “по центру” – т.е. вдоль посередине.

Если речь идет о помещении, то также возможен предложный падеж с предлогом “по” для того, чтобы указать на 1) воздействие на центр (Молния ударила по центру); 2) передвижение внутри (Я гуляю по центру)