В тетраэдре ABCD на рёбрах AB, BC, CD и AD выбраны точки K, L, M и N соответственно такие, что AL ∶ KD = 3: 4, BL ∶ LC = 2 ∶ 5, CD : MD = 5 ∶ 4 и AN ∶ ND = 2 ∶ 7. Верно ли, что точки точки K L M N лежат на в одной плоскости?

а) Так как KLMN — квадрат, то KL = KN, KL ⊥ KN, KL ∥MN, KN ∥ML.

Докажем, что KN ∥AB. Аналогично будет доказываться, что KL ∥CD.

Рассмотрим плоскости (KLM ), (ABC ) и (ABD ). Их линии пересечения KN, AB и ML либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке. Так как две из трех линий KN и ML друг другу параллельны, то и третья линия AB им параллельна. Следовательно, KN ∥AB ∥ML.

Значит и KL ∥ CD ∥MN. Так как KLMN — квадрат, то KL ⊥ KN. Следовательно, AB ⊥CD. Что и требовалось доказать.

PIC

б) Докажем мини-задачу: если a и b — противоположные ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, α — угол между ними, то объем этого тетраэдра равен 1 abdsinα.
6

Рассмотрим призму MNKP M1N1K1P1, в основании которой лежит четырехугольник MNKP, диагонали которого соответственно равны и параллельны двум противоположным ребрам данного тетраэдра: MK = a, NP = b, ∠(MK, NP )= α. Тогда расстояние между основаниями призмы равно d. Значит, объем этой призмы

V = d⋅ 1absinα
2
PIC

Распишем, чему равен объем данного тетраэдра M1NK1P :

( )
| | ( 1 1 ) 1 1
VM1NK1P = V−|(VM◟1MNP–+◝◜VK1NKP◞+V◟NM1N1K1-+◝◜VPM1K1P1◞|) = V− 3V + 3V = 3V = 6abdsin α
=VM1MNKP =VNM1N1K1P1
PIC

Заметим, что так как AB ∥ (KLM ), то расстояние от любой точки прямой AB до этой плоскости будет одинаковым.

Проведем CS ⊥ AB. Тогда AB ⊥ (CSD ). Проведем SP ⊥ CD. Пусть SP ∩ (KLM )= H. Тогда SH ⊥ (KLM ), так как SH ⊥ KN ∥AB и SH ⊥KL ∥CD. Следовательно, SH — искомое расстояние.

Из △ CKN ∼ △CAB следует, что 7
KN = 10-AB = 3. Следовательно, AB = 30-.
7 Аналогично KL = -3CD = 3,
10 откуда CD = 10.

Из доказанной формулы следует, что объем тетраэдра ABCD равен

1 1 30
V = 6 ⋅CD ⋅AB ⋅SP ⋅sin90∘ ⇔ 100= 6 ⋅7-⋅10⋅SP ⇔ SP = 14
Так как по теореме Фалеса AK :KC = SF :FC = SH :HP = 3 :7, то SH :SP =3 :10.

Тогда

SH = -3SP = 4,2
10
Ответ: б) 4,2