Квадратные уравнения

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 544.

Квадратные уравнения – это следующий шаг после линейных. Они открывают путь к изучению квадратичных зависимостей и графикам квадратичных функций. Решение квадратных уравнений очень часто встречается в физике, особенно в радиостроении.

Что такое квадратное уравнение

Что такое уравнение? Уравнение это тождество, один из членов которого неизвестен. Вся соль кроется в том, что это неизвестное может быть в степени, под знаком корня, дифференциала или в знаменателе дроби и это еще далеко не все факторы.

Эти обстоятельства значительно усложняют решения уравнений. Конкретно квадратное уравнение это уравнение вида:

$$a^2*х+в*х+с=0 $$

где а,в,с – численные коэффициенты. То есть, а,в,с – это определенные числа.

$$3*х^2+5х+7=0$$

Если уравнение равно не нулю, а другому числу или другому уравнению, то это все тоже квадратное уравнение, которое просто нужно привести в стандартный вид.

Приведем пример такого уравнения:

$$3*х^2+5х+7=85+7х$$

Перенесем выражение из правой части выражения в левую. Что будет, если убрать из выражения все числа? Правильно, получится ноль. Для лучшего понимания, распишем преобразование во всех подробностях.

$$3*х^2+5х+7=85+7х$$

вычтем из обеих частей уравнения выражение (85+7х)

$$3*х^2+5х+7-(85+7х)=85+7х-(85+7х)$$

$$3*х^2+5х+7-85-7х=85+7х-85-7х$$ – приведем слагаемые.

$$3*х^2+2х-78=0$$ – уравнение такого вида уже можно решать.

Сколько корней у квадратного уравнения

Есть простое и действенное правило любого степенного уравнения: количество корней равняется старшей степени уравнения.

Почему только в степенных уравнениях число корней равняется степени старшего члена?

Объясним на примере рациональных уравнений. В рациональных уравнениях неизвестное находится под знаком корня, то есть старшая степень вполне может оказаться равной $1\over2$. А полкорня в уравнении быть не может. В дифференциальных уравнениях решение это всегда множество чисел, вне зависимости от старшей степени и т.д. У каждой группы уравнений свои особенности, которые нужно учитывать

Ну а раз в квадратном уравнении старшая степень квадрат, то и корня будет два. В учебниках говорят, что корней у квадратного уравнения может быть 1, 2, а может и вообще не быть. Это не совсем верно.

Корней у квадратного уравнения всегда два. Просто они могут совпасть, тогда создается видимость одного корня. В ситуации, когда корней нет, они на самом деле есть, просто находятся среди чисел, которые в 6 классе не изучают – комплексных.

Виды квадратных уравнений

У квадратных уравнений всего 2 вида: полные и неполные. Неполные квадратные уравнения, у которых числа в или с равняются нулю. Обратите внимание, что если а равно нулю, то уравнение не квадратное, а линейное. Различать виды квадратных уравнений нужно, чтобы выбирать наиболее оптимальный путь решения. Например, в учебниках по математике составляют таблицы с быстрым решением неполных уравнений.

Специально, чтобы не путаться, коэффициентам дали название по порядку в уравнении:

а-первый коэффициент
в-второй коэффициент
с-свободный член уравнения.

К слову, возможна ситуация, когда и в, и с равны нулю. Такое уравнение также будет считаться квадратным.

Что мы узнали?

Мы дали определение квадратному уравнению, назвали его коэффициент и определили общий вид квадратного уравнения и привели частные примеры квадратных уравнений. Поговорили о том, сколько корней бывает у таких уравнений, и обсудили всеобщее заблуждение по поводу количества корней в уравнении. Решили, что уравнение коэффициент а которого, равен 0, не может считаться квадратным.