Разложение квадратного уравнения на множители

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 209.

Квадратное уравнение – это основа большей части задач и примеров школьного курса математики. Разложение квадратного уравнения на множители – процесс необходимый для решения дробно рациональных уравнений.

Формула квадратного уравнения

Давайте разберемся. Квадратное уравнение раскладывать на множители приходится крайне редко. Чаще всего это используется при решении неполных квадратных уравнений. Но очень часто путаются понятия «разложение квадратного уравнения на множители» и «разложение квадратного трехчлена на множители».

Вот последнее очень часто используется при решении дробно-рациональных уравнений или сокращении многочленов, содержащих дробь. Разложение квадратного трехчлена очень эффективно в вопросе сокращения многочленов, поскольку для того, чтобы выполнить разложение нет необходимости выполнять сложные манипуляции, достаточно решить квадратное уравнение и применить.

Формула разложения на множители

Но как же так получается, что говорим мы о квадратном трехчлене, а решать придется квадратное уравнение? Давайте разбираться.

Вот формула квадратного трехчлена:

$$aх^2+bx+c$$ – это просто выражение.

А квадратное уравнение это тождество, т.е. равенство:

$$ax^2+bx+c=0$$ – это не значит, что квадратное уравнение нельзя разложить по этой формуле. Можно, но это будет бессмысленно. Потому как примеры с квадратными уравнениями требуется найти корни квадратного уравнения, а для того, чтобы использовать формулу разложения квадратного трехчлена на множители придется сначала решить квадратное уравнение.

Формула выглядит так:

$$aх^2+bx+c=а(х-х_1)(х-х_2)$$, где $х_1 и х_2$ – корни квадратного уравнения.

Пример использования

Приведем пример использования данной формулы.

Необходимо упростить многочлен:

$${{7x^2-21x-70}\over{7x+14}}$$

Обратите внимание, что в числители у всех коэффициентов есть общий множитель 7, в знаменателе так же можно вынести этот множитель за скобки.

$${{7x^2-21x-70}\over{7x+14}}= {{7x^2-3x-10}\over{7(x+2)}}={{x^2-3x-10}\over{x+2}}$$

Теперь обратим внимание на квадратный трехчлен в числителе. Выпишем его отдельно и запишем квадратное уравнение, соответствующее этому квадратному трехчлену.

Это именно квадратное уравнение соответствует трехчлену, а не трехчлен равен нулю. Значение трехчлена не будет определено, пока не будут задано значение переменных или значение, которому равен многочлен.

$$x^2-3x-10=0$$

Решим квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

$$х_1+х_2=3$$

$$х_1*х_2=-10$$

Простым подбором можно быстро найти корни:

$$х_1=5$$

$$х_2=-2$$

Применим формулу.

Если при х^2 нет коэффициента, значит он равен единице. В любых формулах коэффициент 1 можно не писать. Это подразумевается само собой.

$$x^2-3x-10=(х-5)(х+2)$$

Запишем результат в изначальный многочлен:

$$ {{x^2-3x-10}\over{x+2}}= {{(х-5)(х+2)}\over {x+2}}=(х-5 )$$

Запишем изначальный многочлен и результат:

$${{7x^2-21x-70}\over{7x+14}}= (х-5)$$

Что мы узнали?

Мы разделили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, разобрались с понятием формулы разложения на множители квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.