Виды уравнений

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 1250.

Перед решением любого уравнения, необходимо задаться вопросом, а что за уравнение перед нами на данный момент? Ведь видов уравнений достаточно много и каждый из них характеризуется своим подходом для решения, ОДЗ и многими другими факторами, без которых решить уравнение просто невозможно.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Линейное уравнение

Линейное уравнение это классическое уравнение вида:

$$ах+в=0$$

Решается простым перенесением слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком и делением всего выражения на коэффициент при х. Встречаются интересные варианты, где нужно привести подобные слагаемые тем или иным образом, но в общем и целом решаются такие уравнения достаточно легко.

Степенные уравнения

Степенные уравнения это целый пласт уравнений. Степенное уравнение это рациональное уравнение, где старшая степень неизвестного члена больше 1.

Одним из подвидов степенных уравнений являются квадратные уравнения. То есть уравнения вида:

$$ax^2+bx+c=0$$

Решается такое уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета.

Существуют неполные квадратные уравнения, у которых один из коэффициентов b или с равен 0. Неполные уравнения решаются с помощью вынесения общего множителя за скобку или разложением на множители с помощью формулы разности квадратов.

Степенные уравнения со степенью от 3 и выше проще решить графическим способом или разложением на множители.

Дело в том, что любое уравнение можно решить как графически, то есть построить график функции, так и алгебраически,то есть с помощью преобразований.

Графический способ предполагает построение графика функции, а после нахождение значения х, которому соответствует значение y, равное 0 (т.е. точку пересечения с осью Ох). Это значение и будет корнем уравнения, которое записывается в ответ.

Дробные уравнения

Дробные уравнения, это уравнения, содержащие дробь, в знаменателе которых есть переменная. В таких уравнениях знаменатели дробей не могут принимать значений, равных нулю. Это отражается в ОДЗ и учитывается при выборе действительных корней.

При решении любого уравнения могут появиться посторонние корни. Для того, чтобы их отсеять приходится вводить ОДЗ, т.е. интервал, значения которого может принимать х. Если корень не входит в этот интервал, то выражение теряет смысл, а значит такие корни не могут являться ответом примера.

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения это уравнения, содержащие знак радикала. Для радикалов четных степеней особенно важно правильно записать ОДЗ. Подкоренное значение таких радикалов не может являться отрицательным числом, и значение радикала не может равняться отрицательному выражению.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения, это уравнения, в которых неизвестное является аргументом тригонометрической функции.

Неизвестное может находиться не в аргументе тригонометрической функции, а складываться, например, с косинусом 30 градусов. В этом случае уравнение нельзя назвать тригонометрическим, поскольку косинус 30 градусов это определенное число.

Другие виды уравнений

Существуют так же дифференциальные уравнения, содержащие производные различного рода, предельные, показательные и логарифмические уравнения. Все эти уравнения изучаются в началах высшей математики. Для того, чтобы приступить к этим видам уравнений придется пройти долгий путь и научится решать уже перечисленные виды. Специально для быстрого изучения этой темы в учебниках приводят таблицы видов уравнений.

Что мы узнали?

Мы узнали, какие виды уравнений существуют в математике. Наметили пути решения, а также возможное наличие посторонних корней. Поговорили о том, что такое ОДЗ и для чего оно необходимо. Выделили уравнения высшей школы математики.