Центральный угол

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 505.

Окружность тяжела в изучении. В особенности сложно ученикам дается понятие элементов окружности. Об одном из таких элементов – центральном угле – и пойдет речь сегодня.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Окружность и круг

Чтобы обсуждать центральный угол, нужно понимать, что такое окружность. Окружность – это множество точек, равноудаленных от центра окружности. Кругом называется фигура, заключенная внутри окружности или фигура, ограниченная окружностью.

Различие окружности и круга в том, что окружность это линия, а круг – фигура. Поэтому у окружности есть длина, но нет площади. А у круга есть площадь, но нет длины.

Окружность и круг часто путают, а это недопустимо для правильного решения задач.

Элементы окружности

Перечислим основные элементы окружности:

Хорда – отрезок, который соединяет любые две точки окружности.
Диаметр – отрезок, соединяющий две противоположные точки окружности. Диаметр всегда проходит через центр окружности и его длина равна длине двух радиусов. Любой диаметр это хорда, но не каждая хорда может считаться диаметром.
Радиус – отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности и центр окружности.
Дуга – часть окружности, ограниченная углом или сектором
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Теперь подробнее разберемся с центральным углом.

Центральный угол и сектор

Вообще, для измерения любых углов в окружности используется дуга. Сама по себе дуга – это результат поворота радиуса вокруг центра окружности, а так как угол также является мерой поворота чего-либо, то дуга используется в качестве меры угла и измеряется в градусах.

Теорема о центральном угле гласит: величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. При этом, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Сектором зовется площадь центрального угла. Это часть площади всего круга, поэтому зная формулу площади с помощью центрального угла можно узнать площадь сектора.

Рис. 3. Вписанный и центральный углы окружности.

Выведем формулу площади сектора. Для этого, нужно вспомнить, что полный круг равен 360 градусам. Тому же значению равна и дуга всей окружности. А центральный угол – это часть дуги. Площадь круга равна:

$$S=pi*r^2$$

Площадь сектора равна:

$$S={a\over{360}}*pi*r^2$$ – где а это градусная мера угла части круга.

Вот так, зная дугу центрального угла можно найти площадь сектора.

Не забывайте, что любой формулой можно пользоваться как справа налево, так и слева направо. С помощью приведенной формулы можно найти значение центрального угла.

Что мы узнали?

Мы поговорили о круге и окружности. Узнали, чем они отличаются. Выделили основные элементы окружности и круга. Привели определение центрального угла. Рассказали, как найти центральный угол через дугу окружности и сектор. Вывели формулу площади сектора круга.