Сложение и вычитание векторов

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 931.

Сложение и вычитание векторов – это одно из немногих действий на стыке математики и геометрии. Дело в том, что выражения из векторов можно складывать и вычитать арифметически, ориентируясь только на буквенные обозначения векторов, но для того, чтобы получить числовой результат или его геометрическое отображение придется выполнить ряд построений. Разберемся подробнее в правилах сложения и вычитания векторов.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Что такое вектор?

Вектор – это отрезок с направлением.

Вектор и луч часто путают и допускают грубую ошибку. Вектор – это направленный отрезок, а любой отрезок имеет величину, то есть его можно измерить линейкой. Луч имеет начало и направление, но он бесконечен, то есть измерить его невозможно. Так же, как нельзя и складывать лучи между собой или луч с вектором.

Вектор иногда помещают в декартову систему координат. Тогда, проведя перпендикуляры к каждой из осей, можно получить проекции вектора на оси Ох и Оу. Каждая из этих проекций будет отрезком. При этом, если из проекций составить прямоугольник, то его гипотенуза и будет начальным вектором. Это иногда используется при сложении векторов.

Сложение и вычитание векторов

Способов и методов сложения векторов всего два. Существует и третий, но его не считают отдельным методом, так как он вытекает из первых двух. Но мы его рассмотрим отдельно, чтобы не возникало вопросов при дальнейшем изучении темы.

Правило многоугольника

Для того, чтобы сложить векторы правилом многоугольника, необходимо параллельным переносом совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго с началом третьего и так далее, пока не кончатся векторы, которые необходимо сложить.

После этого нужно начало первого вектора соединить с концом последнего последнего вектора и указать направление. Получившийся вектор будет направлен в сторону последнего из участвовавших в сложении.

Складывать таким способом можно любое количество векторов. Если так складывается только два вектора, то способ называют правилом треугольника

Нужно понять и запомнить, что у отрезка одна определяющая величина: размер. У вектора определяющих величин две: размер и направление. Поэтому нельзя менять направление вектора и его размер. Любые действия нужно осуществлять с помощью параллельного переноса, то есть без изменения направления.

Правило параллелограмма

Правило параллелограмма сложнее, его можно применять только для 2 векторов. Если вам нужно этим способом сложить большее количество векторов, например, три, то действие выполняют в следующем порядке:

Складывают два любых вектора правилом параллелограмма. Результатом будет некий вектор и у нас остается еще один, который в сложении не участвовал.
Получившийся и оставшийся векторы складывают по тому же правилу.
Этот процесс можно повторять столько раз, сколько требуется по условию задачи.

Само правило параллелограмма заключается в том, что начала двух векторов совмещаются. После этого получившуюся фигуру достраивают до параллелограмма. Диагональ, которая выходит из начала двух векторов и есть результат сложения. Вектор должен быть направлен в противоположную сторону от совмещенного начала двух векторов.

Для того чтобы вычесть векторы любым способом, направление вектора, который является вычитаемым, меняют на противоположное. Получившиеся векторы складывают любым из методов.

Правило прямоугольника — Рис. 3. Правило многоугольника.

Сложение в декартовой системе

В декартовой системе все векторы раскладывают на проекции, после чего отрезки проекций складывают: проекции на ось Ох отдельно, на ось Оу отдельно. После из получившихся двух проекций снова собирают вектор.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое вектор. Поговорили о правилах сложения и вычитания векторов. Обсудили, чем отличается вектор от луча и обсудили метод действий с векторами в декартовой системе координат.