Как пишется - в продолжение разговора, переписки, фильма?

Правильное написание зависит от контекста:

• «В продолжение» – если это производный предлог, который состоит из сочетания предлога «в» и существительного «продолжение», и обозначает временной промежуток. Пример: В продолжение разговора Катя оставалась безучастной.
• «В продолжении» – если это сочетание предлога «в» и существительным «продолжение» в форме предложного падежа, к которому можно задать вопрос «В чем?». Пример: В продолжении разговора речь шла о перспективном сотрудничестве наших компаний.