Какая часть речи "после" в русском языке?

В зависимости от контекста «после» может являться разными частями речи. «После» будет относиться к наречиям при условии, что к нему можно задать вопрос обстоятельства.

Я заеду к тебе после.

«После» – это предлог, если рядом с ним есть имя существительное.

Я вышел прогуляться после ужина.