На дне рождения или на дне рождении?

Словосочетание “на дне рождения” пишется с окончанием -ия- в третьем слове.

Чтобы не было сомнений, что правильно будет “на дне рождения”, а не “на дне рождении”, нужно объяснить связи слов в словосочетании “день рождения”:

• главное слово – “день”;
• зависимое от него отвечает на вопрос “чего?”, т.е. “день чего?” – “рождения” – это родительный падеж.

Соответственно в словосочетании “на дне рождения” в предложный падеж становится только главное слово “на дне”, а “рождения” остается от него зависимым (“на дне чего?”), и поэтому стоит в родительном.