найти матрицу оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени не выше 2 в базисе e1=1 e2x e3=x2

Для нахождения матрицы оператора дифференцирования в данном пространстве многочленов степени не выше 2 в базисе, мы сначала найдем, как оператор дифференцирования действует на каждом из базисных векторов, а затем представим результаты в виде матрицы.

Начнем с базисных векторов:
1. e1 = 1: Оператор дифференцирования действует на константу следующим образом: d/dx(1) = 0. Таким образом, [D(e1)] = [0, 0, 0].

2. e2 = x: Оператор дифференцирования действует на линейный многочлен x следующим образом: d/dx(x) = 1. Таким образом, [D(e2)] = [1, 0, 0].

3. e3 = x^2: Оператор дифференцирования действует на квадратичный многочлен x^2 следующим образом: d/dx(x^2) = 2x. Таким образом, [D(e3)] = [0, 2, 0].

Теперь мы можем составить матрицу оператора дифференцирования [D] в данном базисе, поместив столбцы [D(e1)], [D(e2)] и [D(e3)] в матрицу:

[D] = [D(e1), D(e2), D(e3)] = [0, 1, 0; 0, 0, 2; 0, 0, 0].

Это и есть матрица оператора дифференцирования в данном пространстве многочленов степени не выше 2 в базисе e1, e2, e3.

Привет!

Обозначим наш базис $E = \{e_1, e_2, e_3\} = \{1, x, x^2\}$.
Действуем на $e_1$:$D(e_1) = D(1) = 0$Раскладываем результат (0) по базису $E$:$0 = \mathbf{0} \cdot e_1 + \mathbf{0} \cdot e_2 + \mathbf{0} \cdot e_3 = \mathbf{0} \cdot 1 + \mathbf{0} \cdot x + \mathbf{0} \cdot x^2$Коэффициенты (0, 0, 0) — это первый столбец матрицы.

Действуем на $e_2$:$D(e_2) = D(x) = 1$Раскладываем результат (1) по базису $E$:$1 = \mathbf{1} \cdot e_1 + \mathbf{0} \cdot e_2 + \mathbf{0} \cdot e_3 = \mathbf{1} \cdot 1 + \mathbf{0} \cdot x + \mathbf{0} \cdot x^2$Коэффициенты (1, 0, 0) — это второй столбец матрицы.

Действуем на $e_3$:$D(e_3) = D(x^2) = 2x$Раскладываем результат ($2x$) по базису $E$:$2x = \mathbf{0} \cdot e_1 + \mathbf{2} \cdot e_2 + \mathbf{0} \cdot e_3 = \mathbf{0} \cdot 1 + \mathbf{2} \cdot x + \mathbf{0} \cdot x^2$Коэффициенты (0, 2, 0) — это третий столбец матрицы.