Не проспи - как пишется правильно? 

Правильный вариант написания – раздельный, «не проспи». Слов «не» – отрицательная частица, «проспи» – глагол в форме повелительного наклонения будущего времени 2-го лица единственного числа, образованный от глагола «проспать». По правилам русского языка отрицательная частица с глаголами пишется раздельно.