Помогите пожалуйста решить контрольную на дом, надо завтра сдать,

А-8, К-«Квадратные уравнения», В-12.
1°. Решите уравнение:
a) 5x² - 2x - 3 = 0;
б) 7y²+ y = 0;
b) 9x² = 1;
r) x² + x - 12 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 80 см, а его площадь 256 см². Найдите длины
сторон прямоугольника.
3. Один из корней уравнения х² - 21х + q = 0 равен 18. Найдите другой корень и
свободный член q.

Привет!

а) 5x² – 2x – 3 = 0

Для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 можно использовать дискриминант (D) и формулу корней:

D = b² – 4ac
x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

В данном случае: a = 5, b = -2, c = -3

D = (-2)² – 4 * 5 * (-3) = 4 + 60 = 64
√D = 8

x₁ = (2 + 8) / 10 = 1
x₂ = (2 – 8) / 10 = -0,6

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -0,6

б) 7y² + y = 0

Это уравнение можно решить, вынеся y за скобки:

y(7y + 1) = 0

Отсюда два возможных решения:

y₁ = 0
7y + 1 = 0 => y₂ = -1/7

Ответ: y₁ = 0, y₂ = -1/7

в) 9x² = 1

Разделим обе части уравнения на 9:

x² = 1/9

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

x₁,₂ = ±√(1/9) = ±1/3

Ответ: x₁ = 1/3, x₂ = -1/3

г) x² + x – 12 = 0

Используем дискриминант и формулу корней:

a = 1, b = 1, c = -12

D = 1² – 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49
√D = 7

x₁ = (-1 + 7) / 2 = 3
x₂ = (-1 – 7) / 2 = -4

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -4

2. Задача про прямоугольник
Пусть длина прямоугольника будет x, а ширина y. Из условия задачи известно, что:

Периметр равен 80 см: 2x + 2y = 80
Площадь равна 256 см²: x * y = 256
Выразим y из первого уравнения:

2y = 80 – 2x
y = 40 – x

Подставим это выражение во второе уравнение:

x(40 – x) = 256
40x – x² = 256
x² – 40x + 256 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = (-40)² – 4 * 1 * 256 = 1600 – 1024 = 576
√D = 24

x₁ = (40 + 24) / 2 = 32
x₂ = (40 – 24) / 2 = 8

Если x = 32, то y = 40 – 32 = 8
Если x = 8, то y = 40 – 8 = 32

Ответ: Длина прямоугольника 32 см, ширина 8 см (или наоборот).

3. Задача про корни уравнения
Известно, что один из корней уравнения x² – 21x + q = 0 равен 18. Обозначим второй корень как x₂.

По теореме Виета для квадратного уравнения x² + px + q = 0:

Сумма корней равна -p: x₁ + x₂ = -(-21) = 21
Произведение корней равно q: x₁ * x₂ = q
Подставим известный корень x₁ = 18 в первое уравнение:

18 + x₂ = 21
x₂ = 21 – 18 = 3

Теперь найдем q, подставив оба корня во второе уравнение:

q = 18 * 3 = 54

Ответ: Второй корень равен 3, свободный член q равен 54.