Образовака📐 Геометрия8 классПодобные треугольники

Отношение площадей подобных треугольников

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 366.

Знание признаков подобия треугольников и умение эти признаки использовать открывает новые пути в решениях задач. Иногда ученики встают в ступор при необходимости определения отношения площадей подобных треугольников из-за новизны подхода к выводу формулы. Рассмотрим сам вывод для того, чтобы понять принцип и использовать его в дальнейшем для решения задач.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Подобие

Подобными треугольниками называются треугольники, длины всех сторон которых пропорциональны друг другу, а углы равны. Отношение соответствующих сторон в подобных треугольниках всегда равно одному и тому же числу, которое называется коэффициентом подобия.

Коэффициент подобия часто используется для решения задач на подобные треугольники, ведь можно через одно отношение найти коэффициент, после выразить неизвестную сторону через известную. Коэффициент подобия обозначают буквой k.

Не нужно зацикливаться только на треугольниках. Хотя признаки подобия выведены только для них, любая фигура в геометрии имеет подобную. То же касается и равенства фигур: любая фигура в геометрии имеет равную себе, ведь равенство это частный случай подобия с коэффициентом k=1

Признаки подобия

На сегодняшний день для произвольного треугольника существует 3 признака подобия.

По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
По сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
По трем сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Для того, чтобы доказать пропорциональность сторон нужно посчитать отношение длин соответствующих сторон. У пропорциональных сторон результаты получатся одинаковыми.

У пропорциональны треугольников будут также пропорциональны и все характеризующие отрезки: высота, медиана, биссектриса. Коэффициент подобия одинаков для всех отрезков треугольника. Этот факт нужно запомнить, он важен для решения многих задач и выведения формулы отношения площадей подобных треугольников.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим два подобных треугольника АВС и $A_1B_1C_1$. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

$$S={1\over{2}}h*AB$$, тогда площадь второго треугольника:

$$S_1={1\over{2}}h_1*A_1B_1$$

Если поделить одну площадь на вторую, то получится следующее отношение:

$${S\over{S_1}}={{h*AB}\over{h_1*A_1B_1}}$$ если вспомнить, что отношение сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то получится следующий результат:

$${S\over{S_1}}=k*k=k^2$$ – то есть площади подобных треугольников относятся друг к другу с коэффициентом пропорциональности, равным коэффициенту подобия в квадрате

Что мы узнали?

Мы вспомнили, что такое подобные фигуры. Поговорили о подобных треугольниках. Выделили три признака подобия треугольников. Выяснили, что коэффициент подобия можно использовать не только для работы со сторонами треугольников, но и для любых характеризующих отрезков. Вывели формулу отношения площадей подобных треугольников.