Пропорциональные отрезки

Пропорциональные отрезки очень важны для определения подобия фигур. К тому же, правильно нареченные пропорционально рисунки помогают в правильном решении математических задач. Именно поэтому так важно разбираться в данной тематике.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории
Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Определение

Пропорциональными отрезками называются отрезки, у которых имеется постоянный коэффициент пропорциональности. Под коэффициентом пропорциональности понимается отношение длин отрезков.

Пропорциональные отрезки

Рис. 1. Пропорциональные отрезки.

Согласно определению пропорциональных отрезков, два отрезка всегда пропорциональны между собой, поскольку их длины не меняются со временем. Значит, не меняется и коэффициент пропорциональности.

Несмотря на это, чаще всего под пропорциональными отрезками понимают отрезки с коэффициентом кратным 0,5. Например, отрезки с коэффициентом 2,5, 1,5, 2 и тому подобные.

Пропорциональными будут являться и отрезки, составляющие подобные фигуры. Это действует в обе стороны. Если фигуры подобны, то их стороны пропорциональны, если все стороны пропорциональны, то фигуры подобны.

Подобные фигуры

Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.

Подобные фигуры

Рис. 2. Подобные фигуры.

Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Признаки подобия треугольников

Рис. 3. Признаки подобия треугольников.

Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.

Пример

Решим небольшую задачу на пропорциональность отрезков. Имеется 3 пропорциональных отрезка. Каждый из которых больше предыдущего. Первый отрезок равен 5, третий 20. Необходимо найти длину второго отрезка.

Отрезки пропорциональны, значит отношение больших к меньшим будет постоянным. Обозначим неизвестны отрезок за х и решим уравнение.

$${х\over{5}}={20\over{x}}$$

Перенесем выражение из правой части в левую. Приведем получившееся выражение под один знаменатель и решим дробно-рациональное уравнение.

$${х\over{5}}-{20\over{x}}=0$$

$${{х^2-100}\over{5x}}=0$$

$$х^2-100=0$$

$х^2=100$ – х может являться положительным или отрицательным числом , но отрезок не может иметь отрицательную длину, значит х=10.

Задача решена

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое пропорциональные отрезки. Выделили области, где могут быть применены навыки обращения с пропорциональными длинами и привели пример на заданную тему.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Могут ли два отрезка быть непропорциональными?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    
  • Эдуард Ройтбурд
    5/5

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 288.

Предметы