Как пишется "предлагаешь"?

Правильный вариант написания слова – «предлагаешь». В данном случае работает правила чередования гласных в корнях лаг/лож – в корне «лаг» всегда пишется буква «а». В конце слова пишется «ь», поскольку в настоящем и будущем временах в окончании 2-го лица единственного числа глагола всегда в конце слова пишется буква «ь».