Машут руками или махают?

В личных формах глагола “махать” происходит историческое чередование согласного [х] с [ш]. Поэтому правильные формы не “махают”, а “машут”.

Такое чередование происходит и в единственном числе (машу, машешь, машет), и во множественном (машем, машете). Формы без чередования считаются просторечными и являются ошибкой (это касается и написания, и произношения).

Пример:

Дети машут руками, провожая родителей.

Вы так сильно машете руками, что даже ветер поднимается.