Махаю или машу: как правильно?

Большинство академических словарей (например, Словари Лопатина, Кузнецова) допускают обе формы – “машу” и “махаю”. Но важно запомнить, что “машу” – единственная литературная форма, а “махаю” – разговорная. Это касается и других (машешь, машет, машем, машете (литературные) и махаешь, махает, махаем, махаете (разговорные).

Пример:

Я веду себя культурно и не машу руками. (литературная форма)

Дома я могу расслабиться и махаю руками. (разговорная)