предлагаешь или предлогаешь?

Правильный вариант написания слова – «предлагаешь». В данном случае работает правило чередования гласных «а» и «о» в корнях лаг/лож, согласно которому на месте безударной гласной перед «г» нужно писать «а», а перед «ж» нужно писать «о». Пример: Ты предлагаешь мне провести вместе все выходные?