Деление многочлена на многочлен столбиком

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 659.

Деление многочлена на многочлен столбиком достаточно сложная для понимания тема. Ученику трудно выполнять действия с неизвестными. Тем не менее, этот прием часто используется в старшей школе, поэтому лучше сразу разобраться во всех нюансах этой операции.

Многочлен и одночлен

В изучении математики всегда наступает момент, когда от простых и понятных чисел приходится переходить к неизвестным. Зачем это нужно? Для того, чтобы тренировать мозг в новых темах, как минимум. К тому же, неизвестные используются в:

Уравнениях
Функциях
Физических формулах и т.д.

К тому же, при помощи неизвестных удобно выводить формулы и работать с ними.

Все формулы оперируют неизвестными. Именно благодаря этому появилась возможность создания самих формул. Без существования неизвестных значение каждой формулы было бы определено заранее, из-за чего пришлось бы каждый раз выводить значение заново.

Простое неизвестное выражается какой-либо буквой, под которой может скрываться любое число. Неизвестные часто домноживают на обычные числа. Так получаются коэффициенты при неизвестных. Например, в одночлене 3а, число 3 является коэффициентом. Коэффициенты при одинаковых неизвестных можно складывать и вычитать. Вот как это выглядит:

3а+4а=7а

Если в выражении складывается несколько неизвестных с коэффициентами, то такое выражение называют многочленом. Если в примере только одно неизвестное, то его зовут одночленом. Сумма или разность одночленов это всегда многочлен. Произведение двух одночленов – всегда одночлен. Деление многочленов может разниться.

Деление неизвестных

В действительности два многочлена можно поделить друг на друга. Для этого, нужно посчитать сколько раз в одном многочлене содержится другой многочлен. Чаще всего результаты таких делений имеют остаток. Но об этом поговорим немного позже.

Делить можно любые неизвестные, например:

7х:7=х – ничего сложного в этом нет

Если в делителе многочлене не содержится одночлен или многочлен делимого, то результатом делении станет дробь с делителем в знаменателе и делимом в числителе. С такой дробью можно работать, как с любым другим одночленом.

Деление многочленов в столбик

Разберем деление многочленов в столбик на примере:

$3а^3+8а^2+8$ – разделим этот многочлен на (а+4)

Для деления многочлены записываются как обычные числа. Проводится вертикальная полоса и горизонтальная, которая делит ее на пополам. Сверху горизонтальной полосы пишут делитель, снизу результат. Делимое записывается слева от вертикальной полосы рядом с делителем.

Сначала определяется наибольшая степень делимого. Это третья степень. Для того, чтобы из делителя получился многочлен третьей степени необходимо умножить делитель на a^2. Численный коэффициент берем тот же.

Если бы при делителе была не 1, а другое число, то коэффициент первого числа результата был бы равен частному коэффициента делимого и коэффициента делителя.

$(а+4)*3а^2=3а^3+12a^2$

Теперь под первыми двумя одночленными делимого записываем получившиеся числа и вычитаем их

$(3а^3+8а^2)- 3а^3-12a^2=-4a^2$ – сносим оставшиеся числа и запишем получившееся выражение:

$-4a^2+8 $ – это остаток деления. Повторим операцию еще раз. Следующее значение результата равняется -4а

$-4a^2+8-(-4a^2-32а)=32а+8$ . Теперь выбираем число 32:

$32а+8-32а-128=-120$. Запишем результат:

$(3а^3+8а^2+8):(а+4)=a^2-4a+32-{120\over{а+4}}$ – деление получилось с остатком, но в этом нет ничего страшного. Пример решен.