Дискриминант квадратного уравнения

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 822.

Дискриминант квадратного уравнения – это число, характеризующее это уравнение, но ничто в математике не берется из ниоткуда. Дискриминант также получился в результате долгого вывода. Рассмотрим этот вывод, чтобы увеличить понимание тематики квадратных уравнений.

Вывод дискриминанта

Вывод дискриминанта проведем поэтапно. Для начала вспомни общую формулу квадратного уравнения. Именно с ней нам и предстоит работать.

$ax^2+bx+c=0$ – избавимся от коэффициента при неизвестном со старшей степенью, разделив все выражение на а.
$x^2+{b\over{а}}x+{c\over{а}}=0$ –для того, чтобы вывод удался придется провести некоторые специфические манипуляции. Так, на данном этапе, нам нужно домножить числитель и знаменатель скобки ${b\over{а}}$ на 2, а также добавить скобку $({b^2\over{4a^2}}- {b^2\over{4a^2}})$.

Скобка в результате приведения общих множителей даст 0, поэтому смысл выражения не измениться. Именно этот факто дает нам право на введение новых членов.
$x^2+{{2b}\over{2а}}*x+{{b^2}\over{4a^2}}- {{b^2}\over{4a^2}} +{c\over{а}}=0$–Сгруппируем в одной части уравнения $x^2+({2b\over{2а}})x+({b^2\over{4a^2}})$, если обратить внимание, то можно заметить формулу квадрата суммы, где первым членом будет х, а вторым $b\over{2а}$. Именно для создания этой формулы и были добавлены дополнительные члены. Оставшиеся члены перенесем в правую часть уравнения.
$(x+{b\over{2a}})^2=({b^2\over{4a^2}}-{c\over{а}})$– в правой части подведем дроби под один знаменатель.
$(x+{b\over{2a}})^2={{b^2-4a*c}\over{4a^2}}$ – именно числитель правой части и будет являться тем самым загадочным дискриминантом.
$D= b^2-4a*c$
$(x+{b\over{2a}})^2={D\over{4a^2}}$
Выведем корни из получившегося выражения.

Нам необходимо извлечь квадратный корень, но подкоренным выражением может являться как положительное, так и отрицательное число.

$$x+{b\over{2a}}={{D}\over{2a}}$$

$$x= {D\over{2a}}- {b\over{2a}}$$

$$x={{D-b}\over{2a}}$$

Если под корнем будет отрицательное выражение, то конечный результат нужно записать с минусом:

$$x={{-(D-b)}\over{2a}}$$

Вот так и выводится всем привычная формула корней квадратного уравнения.

Ограничения, связанные с дискриминантом

Обозначим, откуда взялось разделение уравнений по количеству действительных корней, связанное с дискриминантом.

Обратим внимание на эту скобку, получившуюся в результате преобразований:

$$(x+{b\over{2a}})^2=({D\over{4a}})^2$$

В этом случае, если дискриминант будет являться отрицательным числом, то все выражение в правой части станет отрицательным, тогда число в квадрате будет равняться отрицательному значению. В области действительных чисел это невозможно. Поэтому, если дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Нет именно действительных корней. Среди комплексных чисел решение найдется и для такого уравнения.

Если же дискриминант будет равен 0, то вся дробь в правой части превращается в ноль, и уравнение будет иметь два одинаковых корня:

$$(x+{b\over{2a}})^2={D\over{4a}}^2$$

$$(x+{b\over{2a}})^2=0$$

$$x+{b\over{2a}}=0$$

$$x=-{b\over{2a}}$$

Что мы узнали?

Мы нашли дискриминант квадратного уравнения, подробно разобрав каждое действие вывода формулы. Разобрались, откуда взялись ограничения и вывели формулу корней квадратного уравнения.