Корни квадратного уравнения

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 394.

Решение квадратных уравнений весьма важно для решения практических задач по физике, так как многие формулы имеют старшую степень 2, в программировании и многих других смежных дисциплинах. Способов решить уравнение не так много, но чем больше уравнений вы решаете, тем быстрее и проще становится нахождение корней. Сегодня мы рассмотрим решение полных квадратных уравнений стандартной формы.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение, старшая степень которого равняется 2. Такое уравнение всегда имеет два корня, иногда эти корни совпадают, а иногда их нет среди действительных чисел. В последнем случае, мы пишем, что действительных корней нет.

В квадратном уравнении стандартной формы, есть три коэффициента:

а-первый коэффициент
в-второй коэффициент
с-свободный член уравнения.

Стандартная форма уравнения записывается так:

$$a^2*х+в*х+с=0$$ – где а,в,с – численные коэффициенты.

Коэффициент а может равняться 1, тогда старший член записывается без чисел. Коэффициент при неизвестном равный 1 никогда не пишется, просто имеется в виду.

Виды квадратного уравнения

Квадратные уравнения бывают полные, где все коэффициенты имеют числовые значения, и неполные, где второй коэффициент или свободный член равен нулю.

Если первый коэффициент равен 1, то уравнение называют приведенным и его можно решить двумя способами. Если а>1, способ решения только один.

Способы нахождения корней квадратного уравнения

Стандартный способ определения корней уравнения – через дискриминант. Этот способ работает с любым квадратным уравнением, вне зависимости от его вида и коэффициентов. Если перед нами приведенное квадратное уравнение, то можно воспользоваться теоремой Виета. Она требует некоторого опыта, но при определенном навыке ускоряет решение уравнения в несколько раз.

Использование теоремы Виета позволяет не отвлекаться на промежуточные вычисления в задачах и легкие примеры, продолжая решать дальше.

Теорема Виета

Теорема Виета гласит, что если $x_1 и x_2$– корни квадратного уравнения, то их сумма равняется –в, а произведение с. Это не совсем то, что нужно для решения, но обратная теорема говорит о том, что, если сумма двух чисел равняется –в, а произведение числу с, то эти числа и есть корни уравнения.

Разница двух теорем в том, что в первой уже есть готовые корни, а вторая помогает нам их найти.

Приведем пример и решим приведенное полное квадратное уравнение стандартной формы.

$$х^2+3х-10=0 $$– это уравнение приведенное, значит воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета.

$$x_1+x_2=-3$$

$$x_1*x_2=-10$$

Произведение чисел отрицательно, значит один из корней отрицателен. Причем отрицательный корень больше положительного на 3, так как результат сложения получился отрицательным. Начнем перебор и найдем корни квадратного уравнения для этого примера. Предположим, что один из корней равен 3, тогда:

$$3-6=-3$$

$$3*(-6)=-18$$ – не совпало.

Попробуем 2:

$$2-5=-3$$

$$2*(-5)=-10$$

Вот так, перебором и решается уравнение. Чем больше решенных примеров, тем быстрее подбор. Но неопытный ученик может решать этим способом очень долго. Поэтому на контрольных и экзаменах, если вы не уверены в себе, лучше использовать стандартный способ вычисления.

Дискриминант

Дискриминант это число, характеризующее уравнение. Корни квадратного уравнения равны:

$$x_1= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}, x_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$,

При этом дискриминант равен:

$$D=b^2-4ac$$

Имейте в виду, дискриминант может быть равен 0 и быть отрицательным. Но в первом случае, корни совпадают, а во втором – действительных корней нет.

Что мы узнали?

Мы узнали, как решаются квадратные уравнения. Привели два способа решения и сказали, в каком случае можно, а в каком нельзя пользоваться теоремой Виета. Привели формулу нахождения дискриминанта и решение через это значение.