Тригонометрические уравнения

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 778.

Тригонометрические уравнения – это весьма трудный раздел. После изучения в школьной программе, он встречается только в высшей физике и математике, в редких разделах программирования. Это делает тему несколько отдаленной и запутанной, но не менее интересной.

Что нужно знать?

Эта тема, как и любая другая, нуждается в наборе базовых знаний, которые требуются для успешного понимания вопроса. Сразу перечислим необходимые навыки, чтобы потом к этому не возвращаться:

Умение пользоваться таблицами Брадиса.
Знание формул-приведений. Это очень часто требуется, чтобы превратить синус в косинус или наоборот.
Знание тригонометрических формул. Это крайне важно для решения сложных уравнений.
Знание определений тригонометрических функций.

Определения пригодятся при изучении единичной окружности.

Тригонометрические уравнения

Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное стоит в аргументе тригонометрической функции. В этом случае, ответом будет являться угол, выраженный в радианах. Причем значение этого угла будет повторяться с определенной периодичностью (чаще всего 2\pi)

Примеры

Существует два способа решения тригонометрических уравнений. Первый – это алгебраический, когда для упрощения уравнения, тригонометрическую функцию целиком заменяют на неизвестное.

Само собой разумеется, что замена не должна совпадать с изначальной переменной.

Второй способ подразумевает под собой тригонометрические преобразования. В ходе решения пользуются формулами тригонометрии для получения результата.

Алгебраический метод

$$2sinx^2+3sinx−2=0$$

В формуле тригонометрического уравнения сразу видны признаки алгебраического метода: использованы одинаковые функции, при одинаковых аргументах. Различны только численные коэффициенты.

В такой ситуации нужно заменить тригонометрическую функцию на неизвестное и решить уравнение. В нашем случае тригонометрическая функция имеет вид: $sin(x)$

$$sin(x)=у$$

$$2у^2+3у-2=0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем значение дискриминанта:

$$D=b^2-4ac=3^2+4*2*2=25$$

$$y1={{-b+\sqrt{D}}\over{2a}}={{-3+\sqrt{25}}\over{2*2}}=0,5$$

$$y2={{-b-\sqrt{D}}\over{2a}}={{-3-\sqrt{25}}\over{2*2}}=-2$$ –этот корень будет являться корнем полученного квадратного уравнения, но при этом не подходит для тригонометрического уравнения. Потому что значения синуса и косинуса должны находится в пределах от -1 до 1

Значит:

y₁=0,5

$$sin(x)=0,5$$

$$х={{\pi}\over3}+{{\pi}\over2}$$

Тригонометрический метод

Решим уравнение: $$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$$

Для решения уравнений придется воспользоваться некоторыми преобразованиями:

$$2sin(x)^2+3cos(x)^2−2=0$$

Обратим внимание, что и косинус и синус имеют один и тот же аргумент. Воспользуемся этим и выделим одинаковое количество синусов и косинусов, после этого вынесем это самое количество за скобку, а квадраты синусов и косинусов сложим по основному тригонометрическому свойству.

$$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$$

$$2sin(x^2)+2cos(x^2)+ cos(x^2)−2=0$$

$$(2sin(x^2)+2cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$$

$$2(sin(x^2)+cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$$

$$2 +cos(x^2)−2=0$$

$$cos(x^2)=0$$

$$cos(x)=0$$

$$x=({{\pi}\over2}+\pi)$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое тригонометрические уравнения. Научились их решать и привели примеры решения для каждого из двух основных методов. Выделили основные навыки и знания, необходимые для правильного решения уравнений такого рода.