Аксиома параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых
4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 194.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 194.

Аксиома параллельных прямых – это один из постулатов Евклидовой геометрии, на которой построено доказательство всех современных теорем стереометрии. Это определение не только математическое, но и историческое. Именно о формулировке, истории появления и интересном признаке, который следует из этих утверждений и пойдет речь сегодня.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Немного истории

Почти все современные источники приписывают формулировку аксиомы Евклиду, но на самом деле родоначальник геометрии сформулировал немного другую аксиому, а вернее даже не аксиому, а скорее признак. Что интересно, его долгое время пытались опровергнуть, но сегодня перестали.

Пятый постулат или аксиома Евклида звучит так: Если при пересечении двух прямых третьей, сумма односторонних углов менее 180 градусов, то такие прямые пересекаются, при том с той стороны, где сумма углов меньше 180.

Ничего не напоминает? Конечно же, это третий признак параллельности прямых, вывернутый наизнанку: две прямые параллельны, если односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

А современная трактовка аксиомы: Через точку в плоскости может быть проведена одна и только одна прямая параллельная данной – принадлежит другому древнегреческому математику – Проклу. Вот такая небольшая историческая ошибка.

Формулировка

Но кто бы там ни был автором аксиомы, в любой задаче и при любом доказательстве, нужно иметь в виду: утверждение зовется аксиомой параллельных прямых и формулируется так: через точку на плоскости можно провести только одну прямую параллельную данной.

Следствия

Эта аксиома имеет два следствия, которые еще называют свойствами параллельных прямых.

На самом деле, следствий три, но третье в своем доказательстве имеет не только аксиому, а поэтому следствием в полной мере считаться не может. Формулируется третье следствие так: Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Мы докажем это утверждение чуть позже.

Первое следствие из аксиомы параллельных прямых звучит так: если прямая параллельна одной из параллельных прямых, то она параллельна и третьей.

Иллюстрация следствия
Рис. 1. Иллюстрация следствия.

Второе следствие: Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Рис. 2. Иллюстрация следствия.

Оба следствия доказываются методом от противного.

Задача

Третье следствие всегда доказывается учениками как задача. Итак, необходимо доказать, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Проведем две параллельные прямые а и b. Прямая с перпендикулярна прямой а. Это значит, что прямая с пересекает прямую а, то есть по следствия 2 из аксиомы о параллельности прямых, прямая с пересечет и прямую b, так как b и а параллельны.

Обратим внимание на углы 1 и 2 – они являются односторонними при параллельных прямых а и b, и секущей с. Значит, сумма этих углов должна равняться 180 градусам по свойству параллельных прямых. Но угол 1 известен, так как а перпендикулярна с, то угол равен 90 по определению перпендикулярности.

Найдем угол 2.

$$<1+<2=180$$

$$<1=90$$

$$<2=180-<1$$

$$<2=180-90=90$$

Значит, прямая с перпендикулярна прямой b по определению перпендикулярности.

Этим следствием можно пользоваться так же, как и остальными, но и забывать о том, что оно не является следствием в полном смысле этого слова не нужно.

Заключение

Что мы узнали?

Мы поговорили об истории появления формулировки аксиомы параллельных прямых, узнали автора аксиомы и привели три следствия из нее, доказав третье.

Тест по теме

  1. /5
    Вопрос 1 из 5

    Как звучит пятый постулат аксиома Евклида?

Доска почёта
Доска почёта

Чтобы попасть сюда - пройдите тест.

  • Минори Сакаи
    5/5
  • Нора-Мария Анисимова
    5/5

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 194.


А какая ваша оценка?

закрыть