Двоичная арифметика

Операции сложения, вычитания, умножения и деления в двоичной системе – это двоичная арифметика. Некоторые примеры двоичной арифметики рассмотрены в данной статье.

Двоичная арифметика

Все арифметические действия, которые применимы к двоичным числам, выполняются аналогично как в десятичной системе. Удобнее всего двоичные числа складывать, вычитать, умножать и делить столбиком.

Числа записываются друг под другом с учетом разрядов. При необходимости производится перенос в старший разряд или заем из старшего разряда.

При сложении двоичных чисел следует помнить, что в числовом двоичном ряду после 1 идет 10. Это означает, что 1 + 1 = 10, а 11 + 1= 100.

Изучению двоичной системы много времени посвятил В. Лейбниц. По его просьбе была отчеканена медаль в честь двоичной системы, на которой отображались простейшие арифметические действия с двоичными числами.

Рис. 1. Медаль в честь двоичной системы счисления

Сложение

Вычисление суммы двоичных чисел производится следующим образом: числа записываются в столбик. Затем производится поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда, как в десятичной системе. Если сумма цифр текущего разряда превышает его размер, то происходит перенос единицы в старший разряд.

Правила сложения двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 =10

Например, сумма двоичных чисел 1000111 + 110011 = 1111010

Первое слагаемое

1

0

0

0

1

1

1

Второе слагаемое

1

1

0

0

1

1

Сумма

1

1

1

1

0

1

0

На примере видно, как происходит перенос в старший разряд. При сложении единиц самого младшего разряда получается 10. Ноль остается на своем месте, а единица переносится в старший разряд слева, где уже складываются две единицы. Получается 11. И снова, младшую единицу оставляют, а старшую переносят влево.

Вычитание

Действие разности следует также выполнять столбиком. Вычитание производится поразрядно. Если возникает ситуация, что приходится вычитать из нуля единицу, то происходит заем из старшего разряда.

Все как в десятичной системе. Только следует помнить, что в двоичной системе 10 – 1 = 1.

Например, разность чисел: 1000111 – 110011 = 10100

Уменьшаемое

1

0

0

0

1

1

1

Вычитаемое

1

1

0

0

1

1

Разность

1

0

1

0

0

На примере видно, как производится заем в старшем разряде. В пятом справа разряде производится вычитание 0 – 1. Здесь следует занять единицу из ближайшего старшего разряда слева.

Умножение

Умножать следует столбиком с учетом правил умножения:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1

Произведение выполняется также поразрядно, каждый разряд второго числа умножается на каждую цифру первого числа, результат суммируется

Произведение двоичных чисел 1101 * 11 = 100111

Первый множитель

1

1

0

1

Второй множитель

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

Итог (произведение)

1

0

0

1

1

1

Деление

Операция деления выполняется столбиком, аналогично как в десятичной системе счисления.

Рис. 2. Деление двоичных чисел

Всегда можно проверить результаты двоичной арифметики с помощью калькулятора. Считать можно и в двоичном формате. Электронный калькулятор в группе стандартных приложений операционной системы MS Windows имеет такой режим работы.

Рис. 3. Режим Программист электронного калькулятора ОС Windows

Что мы узнали?

Над двоичными числами можно выполнять арифметические операции сложения, умножения, вычитания, деления. Удобнее всего это делать столбиком. Числа следует располагать с учетом разрядов и помнить об особенностях двоичной системы.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 121.

Предметы