Периметр правильного треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 195.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 195.

Правильный треугольник особенно выделяется на фоне других фигур. Любой параметр такого треугольника может быть определен из длины стороны. Особенной простотой отличается нахождение периметра.

Определения

Для начала вспомним несколько определений, которые потребуются для того, чтобы решать задачи на нахождение периметра правильного треугольника:

• Правильным треугольником является треугольник, все стороны которого равны, а каждый из углов составляет 60 градусов.
• Правильный треугольник является частным случаем равнобедренного, поэтому любая высота правильного треугольника будет являться биссектрисой и медианой.
• Некоторые формулы для произвольного треугольника при применении к правильному треугольнику можно значительно упростить с помощью теоремы Пифагора.

Периметр треугольника

Что такое периметр? Это сумма длин всех сторон.

Конкретно для правильного треугольника, нужно вспомнить, что все стороны этой фигуры равны между собой. Сторон у треугольника 3, а значит, формула периметра выглядит следующим образом:

$$P=3a$$

Пример

Сложную задачу на нахождение периметра правильного треугольника придумать нелегко. Поэтому решим интересную, но простую задачу на заданную тематику. В процессе решения рассмотрим применение теоремы Пифагора для решения задач с правильным треугольником.

Площадь правильного треугольника АВС равняется $9\sqrt{3}$

Вспомним формулу площади треугольника и упростим ее для правильного треугольника.

Площадь треугольника находится как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

В правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ, которая совпадет с высотой и биссектрисой. Тогда треугольник АВМ будет прямоугольным. По теореме Пифагора найдем АМ.

$$АМ=\sqrt{AB^2-BM^2}= \sqrt{а^2-{а\over{2}}^2}= \sqrt{а^2-{{а^2}\over{4}}}=\sqrt{{3a^2}\over{4}}$$

Подставим значение АМ в формулу площади:

$$S={1\over{2}}*a*h={1\over{2}}*a*a*{\sqrt{3}\over{2}}=a^2*{\sqrt{3}\over{4}}$$

Из этой формулы выразим значение стороны:

$$a=\sqrt{4S\over{\sqrt{3}}}=\sqrt{{4*{9\over{\sqrt{3}}}}\over{\sqrt{3}}}=6$$

Теперь найти периметр не составит проблем.

$$P=3a=3*6=18$$

Что мы узнали?

Мы привели формулу периметра правильного треугольника. На примере показали, как можно найти площадь правильного треугольника через площадь. На том же примере показали примерный ход решения любой задачи на решение правильного треугольника.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда - пройдите тест.