Первая космическая скорость

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 161.

Почему брошенный камень всегда падает на Землю, а космические орбитальные станции способны долгое время летать вокруг Земли не падая? Причина кроется в скорости полета орбитальных станций, которая гораздо выше скорости полета брошенного камня. Найдем эту скорость.

Мысленный эксперимент «Гора Ньютона»

Для ответа, почему космическая станция не падает на Землю, представим себе высокую гору, на вершине которой стоит пушка, которая может запускать снаряды с различной скоростью по направлению касательной к Земному шару (сопротивлением воздуха пренебрежем).

Чем больше будет скорость вылета снаряда, тем дальше от подножья горы он будет падать. При некоторой скорости место падения снаряда будет уже так далеко от пушки, что потребуется учитывать кривизну Земли. Траектория полета будет длиннее не только за счет увеличения горизонтальной скорости, но и за счет того, что Земля начнет «уходить» из-под нее.

Если представить себе Землю в виде шара, на вершине которого находится гора с пушкой, то при достаточно высокой скорости он упадет Землю «сбоку». А при еще большей скорости – «снизу». Наконец, при еще более высокой скорости он совершит полный круг и попадет в пушку с другой стороны. Если к тому времени убрать пушку – то он продолжит полет вокруг Земли по круговой траектории.

Рис. 1. Гора и пушка Ньютона траектория.

Заметим, что импульс скорости для снаряда требуется только один раз – при запуске. В дальнейшем снаряд будет постоянно двигаться по круговой траектории вокруг Земли. Земля постоянно будет притягивать снаряд, сообщая ему центростремительное ускорение, и снаряд постоянно будет падать на Землю, но за счет кривизны Земли – никогда не упадет.

Такой мысленный эксперимент впервые был проделан И. Ньютоном, поэтому он называется «Гора Ньютона».

Первая космическая скорость

Таким образом, космическая станция, также, как и брошенный камень, постоянно падает на Землю, но за счет большой орбитальной скорости это падение никогда не кончается.

Скорость, при которой тело начнет двигаться вокруг Земли по круговой орбите, называется Первой Космической скоростью.

Для нахождения Первой Космической скорости необходимо учесть, что она должна быть такой, чтобы создаваемое при этом центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения ($a_ц = \mathrm{g}$). Под действием такого центростремительного ускорения траектория полета будет окружностью.

Центростремительное ускорение, действующее на тело, равно:

$$a_ц={v^2\over R},$$

где:

$v$ – величина мгновенной скорости тела;
$R$ – радиус вращения (он равен сумме радиуса Земли и высоты орбиты ($R = R_З+h$).

Пусть тело имеет массу $m$, тогда согласно Закону Всемирного Тяготения, сила притяжения равна:

$$F=G{M_З m\over R^2},$$

где:

$G$ – гравитационная постоянная;
$M_З$ – масса Земли.

По Второму Закону Ньютона эта сила создает ускорение свободного падения:

$$\mathrm{g}={F\over m}=G{M_З\over R^2}$$

Именно оно и является центростремительным. Таким образом:

$${v^2\over R}=G{M_З \over R^2}$$

Или:

$$v=\sqrt{G{ M_З \over R}}$$

Полученная формула является формулой Первой Космической Скорости для Земли. Тело, обладающее ею, начнет движение вокруг Земли по круговой орбите, и станет ее спутником.

Поскольку более известным параметром земного тяготения является ускорение свободного падения, то массу Земли можно выразить через него:

$$M_З = {\mathrm{g} R^2\over G}$$

И, таким образом:

$$v=\sqrt{\mathrm{g}R}$$

Для Земли Первая Космическая скорость равна $v ≈ 8 км/с$.

Если скорость тела увеличивать выше этого значения, то траектория превратится во все более вытянутый эллипс. Скорость в $\sqrt 2$ раз больше Первой Космической называется Второй Космической. При такой скорости траектория превратится в параболу, и тело навсегда сможет покинуть планету. Для Земли Вторая Космическая скорость равна 11.2 км/с.

Рис. 3. Траектории первой и второй космической скорости.

Что мы узнали?

Первая космическая скорость – это скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало спутником планеты, и начало движение по круговой орбите. Для Земли она равна 8 км/с. При скорости 11 км/с тело сможет навсегда покинуть планету.