Условия равновесия тел

Статика – раздел классической механики, в котором рассматриваются условия равновесия тел под действием сил и вращательных моментов. Понимание ее принципов важно при проектировании зданий и сооружений, автомобильной и другой техники.

Основные понятия статики

В простых и однородных телах центр масс и центр тяжести находятся в одной точке, но в общем случае это не так. Под центром масс понимают такую точку тела, которая определяется радиус-вектором:

$r_c = \frac {\sum\limits_{i=1}^n m_i \cdot \vec r_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i}$

Для однородного стержня – это его середина, для треугольника – точка пересечения медиан. Используя понятие центра масс, движение сложных тел описывают посредством классических законов Ньютона.

Центр масс

Рис. 1. Центр масс.

Центр тяжести однородных тел – это точка, относительно которой сумма моментов сил равна нулю.

Центр тяжести однородного тела определяется выражением:

$r_c =\frac {1}{V} \cdot \iiint rdV$

Два других ключевых для статики понятия – момент силы и плечо силы.

Моментом силы называют векторное произведения силы и радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы. Такой радиус-вектор иногда называют плечом силы. Момент силы можно находить иначе:

$\vec M = I \cdot \frac {d \vec \omega}{dt}$

I – момент инерции тела, определяемый выражением $I = \int r^2dm$, а $\omega$ – угловая скорость.

Момент сил

Рис. 2. Момент сил.

Равновесие тел

Из второго закона Ньютона следует, что тело не изменяет своего положения в том случае, когда геометрическая сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Это необходимое, но в общем случае не достаточное условие. По аналогии с динамикой прямолинейного движения в динамике вращательного движения вместо силы вводят понятие момента силы, о котором говорилось выше. Поэтому, чтобы исключить вращение тела, геометрическая сумма моментов сил также должна равняться нулю.

Силы и моменты сил, действующие на тело в состоянии равновесия

Рис. 3. Силы и моменты сил, действующие на тело в состоянии равновесия.

Таким образом, условие равновесия тел, имеющих ось вращения, запишется так:

\begin{equation*}\begin{cases}\sum\limits_{i=1}^n \vec F = 0,\\\sum\limits_{i=1}^n \vec M = 0 \end{cases}\end{equation*}

На практике различают три вида равновесия тела:

  • Устойчивое (при отклонении возникают силы, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия)
  • Безразличное (при отклонении состояние равновесия сохраняется)
  • Неустойчивое (при отклонении возникают силы, не позволяющие телу вернуться к состоянию равновесия).

Задачи

Какую силу нужно приложить к краю стержня массой 100 кг и длинной 1 м, чтобы приподнять его? Центр тяжести стержня смещен в сторону оси вращения на 40 см.

Решение:

Момент силы тяжести: $M_т = mg \cdot (\frac {l}{2} – 0,4) \cdot cos \phi$

Момент прикладываемой силы: $M_F = F \cdot l \cdot cos \phi$

После того, как стержень приподняли, устанавливается равновесное состояние. Тогда, приравняв моменты, выразим силу:

$F = \frac {mg \cdot (\frac {l}{2} – 0,4)}{l} = 100 \cdot (0,5 – 0,4) = 10 \: Н$.

Что мы узнали?

В ходе урока рассмотрели основные понятия статики, установили два необходимых и достаточных условия равновесия для произвольного тела (суммарный момент и равнодействующая сил должны равняться нулю). Для закрепления материала решили задачу.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 37.

Предметы