Центр тяжести тела

Наряду с центром масс в физике пользуются понятием центра тяжести тела. Его нахождение – важная прикладная задача, необходимая для решения более сложных задач определения условий равновесия тел.

Понятие центра тяжести

Рассмотрим плоский однородный диск. Если подвесить его к нити, то во всех, кроме одного, случаях он начнет вращаться под действием момента силы тяжести. Лишь когда нить крепится к центру диска, вращения не возникает и устанавливается равновесие.

Точку, относительно которой суммарный момент сил тяжести всех частей тела равен нулю, называют центром тяжести. При рассмотрении объектов, находящихся в однородном гравитационном поле, центр тяжести твердого тела совпадает с центром масс. В общем случае это не так.

Центр тяжести в неоднородном гравитационном поле

Рис. 1. Центр тяжести в неоднородном гравитационном поле.

Понятием центра тяжести пользуются только по отношению к твердым телам, находящимся в поле тяжести. В иных случаях его использование не имеет смысла.

Рассмотрим два тела, соединенных невесомым стержнем. Система подвешена ни нити и находится в равновесии. Тогда точка, к которой прикреплена нить, есть центр тяжести. Из равенства моментов сил получаем соотношение:

$\frac {m_1}{m_2} = \frac {b}{a}$, где b и a – расстояние от центра тяжести до второго и первого тел соответственно. Таким образом, центр тяжести разделил расстояние между телами в отношении, обратном отношению их масс.

Рис. 2. Центр тяжести двух тел, скрепленных стержнем.

Из полученного результата можно судить о положении центров тяжести некоторых простых однородных тел. К примеру, центр тяжести стержня лежит в его середине, шара – в центре сферы, описываемой его поверхностью, а параллелепипеда – в точке пересечения его диагоналей.

Способы определения центра тяжести

Для однородных тел несложной формы часто используют аналитический метод. Формула расчета центра тяжести для объемных фигур:

$r_c = \frac {1}{V} \cdot \iiint\limits_V r dV$, где V – объем тела.

Для плоских фигур:

$r_c = \frac {1}{S} \cdot \iiint\limits_S r dS$, где S – площадь поверхности тела.

Для однородной линии:

$r_c = \frac {1}{L} \cdot \iiint\limits_L r dL$, где L – длинна линии.

Общий случай, когда тела могут быть неоднородными и сложной формы, весьма сложен. Для них применяются следующие методы:

  • Экспериментальный;
  • Разбиения;
  • Симметрии.

Первый метод осуществляется либо путем подвешивания тела на нити за разные его участки (вдоль нити проводят линии, в той точке, где они пересекаются, лежит центр тяжести), либо взвешиванием (например, автомобили прогоняют через весы и решают задачу, сходную той, что была решена для двух тел, скрепленных стержнем).

Второй метод сводится к тому, что всё тело разбивается на такие части, для которых легко найти центр тяжести, после чего находят центр тяжести всего тела по формуле:

$r_c = \frac {\sum\limits_{i=1}^n r_i \cdot V_i}{\sum\limits_{i=1}^n V_i}$

Метод разбиения

Рис. 3. Метод разбиения.

Наконец, третий метод исходит из того принципа, что центр тяжести симметричных тел лежит на оси или плоскости симметрии. Как правило, этот метод используют для упрощения предыдущих.

Центр тяжести человека находится в районе пятого поясничного позвонка. При этом, вертикальное положение считается неустойчивым. Наклон тела вперед или назад приводит к возникновению момента силы тяжести, из-за чего равновесие нарушается. Поэтому для того, чтобы ровно стоять на одном месте, приходится регулярно напрягать мышцы.

Что мы узнали?

В ходе урока разобрали одну из ключевых тем статики – центр тяжести тела, установили, чем это понятие отличается от понятия центра масс, а также рассмотрели способы его определения для различных тел.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 145.

Предметы