Взаимосвязь массы и энергии

Одним из поразительных открытий, сделанных в XXв в физике, было открытие взаимосвязи массы и энергии. Оказалось, что эти величины зависят друг от друга, и даже могут быть выражены одна через другую. Кратко рассмотрим эту тему.

Изменение массы на больших скоростях

Важнейшим следствием постулатов Специальной Теории Относительности является Лоренцево сокращение размеров для движущегося тела в направлении движения. Для покоящегося наблюдателя расстояния между точками быстро движущегося тела уменьшаются с увеличением скорости тела.

Рис. 1. Лоренцево сокращение длины

Это приводит к другому, не менее парадоксальному выводу – масса тела не является постоянной.

В самом деле, рассмотрим тело, последовательно получающее импульсы разгона – например, ракету, периодически включающую разгонный двигатель на одинаковые промежутки времени.

Пока скорость невелика, каждый разгонный импульс увеличивает скорость ракеты на одинаковую величину $Δv$. Однако, по мере приближения к скорости света, все большую роль начинает играть Лоренцево сокращение расстояний. Получается, что один и тот же разгонный импульс будет сообщать ракете все меньшую скорость $Δv'< Δv$. Как можно объяснить это уменьшение ?

Варианта только два. Можно предположить, что закон сохранения импульса не выполняется. И суммарный импульс двух импульсов меньше их алгебраической суммы. Однако, все опыты, в том числе и поставленные для релятивистских частиц, показывали, что закон сохранения импульса не нарушается. Более того, в 1918г Э.Нёттер было строго доказано, что закон сохранения импульса – это следствие симметрии пространства.

Остается предположить второй вариант – тело, по мере приближения к скорости света, увеличивает свою массу. И один и тот же импульс на разных скоростях изменяет эту скорость на разные величины.

Зависимость массы и скорости

Сокращение расстояний при изменении скорости изменяется пропорционально величине:

$$\beta = \sqrt{1-{v^2\over c^2}}$$

Импульс же пропорционален массе:

$$\overrightarrow p = m\overrightarrow v$$

Следовательно, масса также изменяется пропорционально величине $\beta$ ($m_0$ – масса покоя):

$$m={m_0\over \beta } = {m_0\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}$$

Чем больше скорость тела, тем больше масса, и при приближении к скорости света масса стремится к бесконечности:

Рис. 2. График зависимости массы от скорости

Связь массы и энергии

Поскольку кинетическая энергия равна произведению массы на квадрат скорости, то, выходит, что при возрастании скорости энергия тела растет не только за счет увеличения скорости, но и за счет увеличения массы. А это означает взаимосвязь массы и энергии. И, кроме того, это значит, что даже при малых скоростях масса тела представляет некоторую энергию.

Этот вывод можно также получить, учтя, что при $v \ll c$ коэффициент $\beta$ можно представить (отбрасывая пренебрежительно малое $v^4\over 4c^4$):

$$\beta≈1-{v^2\over 2c^2}$$

А массу:

$$m≈{m_0\over 1-{v^2\over 2c^2}}≈m_0+{m_0v^2\over 2}{1\over c}$$

Из последнего соотношения следует:

$$Δm={ΔE\over c^2}$$

При сообщении телу энергии его масса растет прямо пропорционально полученной энергии.

Данное соотношение можно распространить не только на изменение массы, получаемое телом при изменении его энергии, но и на всю массу тела, в том числе на массу покоя. В результате получаем знаменитую формулу Эйнштейна, связывающую массу и энергию:

$$E=m c^2$$

То есть, согласно закону взаимосвязи массы и энергии, любая масса обладает энергией просто уже в результате своего существования.

Существуют частицы, не имеющие массу покоя – фотоны, глюоны (и гипотетические гравитоны). Это означает, что не бывает таких покоящихся частиц. Сразу при возникновении и до самого поглощения или распада они двигаются со скоростью света. Энергии покоя у них также нет.

Что мы узнали?

Из постулатов Специальной Теории Относительности следует сокращение размеров движущихся тел, а это означает, что масса тела возрастает при увеличении скорости. Вообще, любое изменение энергии тела ведет к изменению его массы. И даже у покоящегося тела есть энергия, эквивалентная его массе: $E=m c^2$

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 10

    В результате Лоренцева сокращения размеров, расстояние между точками движущегося тела с точки зрения покоящегося наблюдателя…

Начать тест(новая вкладка)

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 5.

Предметы