Неравномерное движение

В реальной жизни приходится иметь дело с телами, скорость движения которых может меняться на разных участках пути. Описание такого движения несколько сложнее и требует введения новых понятий.

Основные понятия

Равномерное движение – идеализированный случай. На практике скорость на достаточно долгом промежутке пути не бывает постоянной, из-за чего за равные промежутки времени точка проходит разные участки пути. Такой случай движения называют неравномерным. Он характеризуется двумя величинами – пройденным путем и скоростью.

Когда происходит неравномерное движение, скорость определяют, как отношение всего пути ко времени движения:

$v = \frac {\Delta S}{\Delta t}$,

и это средняя скорость на всем пути.

Иногда пользуются средней путевой скоростью, которую можно найти так:

$v = \frac {S_1 + S_2 + … + S_n}{t_1 + t_2 + … + t_n}$

Индексами здесь обозначены участки пути.

Средняя путевая скорость

Рис. 1. Средняя путевая скорость.

С изобретением дифференциального исчислением сэром Исааком Ньютоном в физике получили распространение другие величины, которыми стали описывать неравномерное движение. Это:

  • Радиус-вектор перемещения;
  • Мгновенная скорость;
  • Мгновенное ускорение.

Каждое следующее понятие вводится через предыдущее. Поэтому сначала разберемся с радиус-вектором. Под ним понимают направленный отрезок, соединяющий начало координат с точкой, в которой находится тело в данный момент времени.

Радиус-вектор перемещения

Рис. 2. Радиус-вектор перемещения.

Первую производную радиус-вектора называют мгновенной скоростью. В общем случае она находится по формуле:

$\vec v = \frac {d \vec r}{dt}$

Вторую производную радиус-вектора перемещения называют мгновенным ускорением. Формула, по которой его можно найти, в общем виде записывается так:

$\vec a = \frac {d^2 \vec r}{dt^2}$

Посредством двойного интегрирования ускорения можно найти общее уравнение движения.

Виды неравномерного движения

Поскольку скорость – это векторная величина, у нее есть компоненты. В трехмерном пространстве – это x, y, z. В зависимости от характера изменения скорости различают следующие виды:

  • Равноускоренное движение;
  • Движение с переменным ускорением;
  • Движение по окружности с ускорением;
  • Движение по окружности с переменным ускорением;
  • Движение тела, брошенного под углом.

В первом случае уравнение движения выглядит так:

$ve\c r(t) =\vec r_0 + \vec vt + \frac {\vec at^2}{2}$

В случае, если ускорение изменяется, вместо $\vec a$ подставляют закон, по которому происходит изменение.

Для движения по окружности вводят три новых понятия: угол поворота ($phi$, радиан), угловая скорость ($\omega$, радиан/с) и угловое ускорение ($\omega, радиан/с^2$). Уравнение движения по окружности с постоянной угловой скоростью:

$\vec \phi = \vec \phi_0 + \vec \omega t$

Несмотря на то, что линейная скорость ($\vec v = [\vec \omega, \vec R]$, где квадратными скобками обозначено векторное умножение) изменяется по направлению, движение по окружности с постоянной угловой скоростью считается равномерным, поскольку за равные промежутки времени точка проходит равные участки пути. Другие случаи движения по окружности отличаются введением углового ускорения по аналогии с равноускоренным движением по прямой.

Когда же тело бросают под углом к горизонту, его движение происходит в поле силы тяжести. Рассмотрим простейший случай, когда иксовая компонента скорости остается постоянной, а меняется только игриковая. Тогда движение описывают системой уравнений:

$$
\begin{equation*}
r(t) = \begin{cases}
x = v_0 \cdot cos\phi \cdot t\\
y = v_0 \cdot sin\phi \cdot t – \frac {g \cdot t^2}{2}
\end{cases}
\end{equation*}
$$

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

Рис. 3. Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Приняв угол равным 90˚, получим случай движения тела, брошенного вертикально вверх.

Задачи

  • Две пятых пути автомобиль проехал со скоростью 120 км/ч, одну пятую – со скоростью 60 км/ч, и последнюю часть пути – со скоростью 80 км/ч. Найти среднюю путевую скорость.

Решение:

Запишем общую формулу для нахождения средней путевой скорости:

$v = \frac {S_1 + S_2 + S_3}{t_1 + t_2 + t_3}$t

Приняв весь путь за x, напишем:

$S_1 = 2x/5$, $t_1 = 2x/5v_1$

$S_2 = x/5$, $t_2 = x/5v_2$

$S_3 = 2x/5$, $t_3 = 2x/5v_3$

Тогда средняя путевая скорость:

$v = \frac {x}{2x/5v_1 + x/5v_2 + 2x/5v_3}$

$v = \frac {5}{2/v_1 + 1/v_2 + 2/v_3} = \frac {5}{2/120 + 1/120 + 1/40} = \frac {5}{1/20} = 100 км/ч$

Что мы узнали?

В ходе урока рассмотрели основные понятия, связанные с неравномерным движением, привели различные примеры неравномерного движение и уравнения, описывающие их. В завершении урока решили задачу на среднюю путевую скорость.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 86.

Предметы