Плавание тел

Одной из ключевых для гидростатики является тема плавания тел, а также их равновесия. Главный ее вопрос – устойчивость простых и сложных тел в жидкостях.

Основной закон

Рассмотрим несжимаемую жидкость, которая находится в состоянии равновесия, и выделим в ней объем V; из условия равновесия следует, что геометрическая сумма всех действующих на него сил, а также их моменты, равны нулю:

\begin{equation*} \begin{cases}\vec F = m \vec g, \\ \vec M_F = \vec M_{mg} \end{cases} \end{equation*}

Под силой F здесь разумеется некая выталкивающая сила. Чтобы найти ее, поместим на место выделенного объема воды некое твердое тело тех же размеров. Такое, что состояние равновесия сохранилось. Тогда сила F будет определяться выражением:

$F = \rho_ж \cdot g \cdot V_ж$. Для нее ввели специальное название – сила Архимеда, в честь греческого ученого, открывшего ее. Одноименный закон гласит: на погруженное (полностью или частично) тело действует выталкивающая сила, численно равная весу вытесненной жидкости.

Сила Архимеда

Рис. 1. Сила Архимеда.

В формуле силы тяжести выразим массу через плотность и объем и приравняем ее к силе Архимеда:

$\rho_т \cdot V_т \cdot g = \rho_ж \cdot g \cdot V_ж$

Но поскольку $V_т = V_ж$, запишем:

$\rho_т = \rho_ж$ – граничное условие плавания тел.

При равенстве плотности тела и жидкости, в которой оно находится, тело полностью погружено и не тонет. В случае, если плотность жидкости больше плотности тела, последнее всплывает, а если меньше – тонет.

Устойчивость плавающих тел

В гидростатике вместо центра тяжести используют эквивалентное понятие центра плавучести тела. Теперь рассмотрим два возможных случая:

  • Плавающее тело полностью погружено в жидкость. Равновесие достигается в том случае, когда центр масс тела лежит ниже его центра плавучести. В противном случае создается момент сил, и тело вращается.
  • Плавающее тело погружено частично. Эта задача представляет интерес при изучении устойчивости кораблей. Рассмотрим разрез корабля (рис 2.). Его центры масс и плавучести лежат на вертикальной оси симметрии.

Центры масс и плавучести на схеме корабля

Рис. 2. Центры масс и плавучести на схеме корабля.

При наклоне корабля на малый угол центр плавучести смещается, и тогда линия действия выталкивающей силы пересекает вертикальную ось симметрии в некоторой точке, называемой метацентром. В том случае, если метацентр расположен ниже центра масс, момент сил направлены так, что корабль становится неустойчивым и переворачивается. Соответственно, для устойчивости необходимо, чтобы метацентр был выше центра масс.

Возникновение метацентра корабля и моментов сил

Рис. 3. Возникновение метацентра корабля и моментов сил.

Задачи

Найти объем вытесненной жидкости, если известно, что тело полностью погружено в воду и не тонет, а действующая на него выталкивающая сила равна 4200 Н.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона:

$\vec F_a = \vec P$, где Р – вес тела, численно равный произведению массы на ускорение свободного падения. Или:

$\rho_ж \cdot g \cdot V_ж = P$

$V_т = V_ж = \frac {P}{\rho_ж \cdot g} = \frac {4200}{10 \cdot 4200} = 0,1 \: м^3$

Что мы узнали?

В ходе урока вывели закон Архимеда, на котором базируется теория плавания тел, записали условия, при которых тела плывут и тонут, а также в общем виде рассмотрели вопрос устойчивости плавающих тел.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 57.

Предметы