Образовака📐 Геометрия7 классСоотношения между сторонами и углами треугольника

Свойства внешнего угла треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 352.

Внешний угол треугольника редко используется при решении геометрических задач. Однако при этом свойства внешнего угла лучше знать, потому как задача на применение этих свойств рано или поздно попадется каждому ученику.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Внешний угол

Внешний угол треугольника это угол, смежный с внутренним. Внутренних углов в треугольнике три, и их сумма равна 180 градусам. Смежными углами зовутся углы, одна из сторон каждого лежит на одной прямой, а вторая является общей.

Что нужно сделать, чтобы увидеть внешний угол треугольника? Для этого придется выполнить некоторые дополнительные построения. Чтобы увидеть внешний угол треугольника необходимо продолжить его сторону. При каждой вершине две стороны, соответственно продолжить можно две прямых, и смежных углов будет два.

Итого в треугольнике получается 6 внешних углов.

Нежелательно на рисунке строить два внешних угла при одной вершине одновременно. Это усложнит построение и, чаще всего, не принесет никакого положительного результата.

Свойства внешних углов

Свойств у внешних углов треугольника не так много и все они связаны с определением внешнего угла.

Основное свойство гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним. Свойство доказывается достаточно просто. Сумма смежных углов равна 180. Сумма углов в треугольнике все те же 180. Тогда, если обозначить внутренние углы а,в,с, внешний угол d, то:

а+в+с=180

а+d=180

Вычтем из первого выражения второе и получим:

а+в+с-(а+d)=180-180

в+с-d=0

d=в+с – вот и все доказательство.

Есть еще несколько дополнительных свойств внешних углов:

Если решение задачи требует одновременного существования двух внешних углов при одной вершине на чертеже, то можно заметить, что эти внешние углы будут равны, как вертикальные.
Сумма трех внешних углов, по одному при каждой из вершин, равна 360 градусам.
Так как внешний и внутренний углы треугольника смежные, то их сумма равна 180 градусам.

Особенное значение имеют внешние углы при решении тупоугольных треугольников. Дело в том, что в тупоугольном треугольнике одна из высот всегда внешняя. Найти эту высоту можно через тригонометрические функции. Для этого и нужно знать угол, который для тупоугольного треугольника будет внешним, а для достроенного прямоугольного треугольника – внутренним.

Рис. 3. Внешний угол тупоугольного треугольника.

Что мы узнали?

Мы привели определение внешнего угла треугольника. Посчитали количество внешних углов треугольника, определили особенности построения внешних углов при решении задачи. Рассказали, где чаще всего применяются свойства внешних углов треугольника.