Образовака📐 Геометрия8 классСоотношения между сторонами и углами треугольника

Точка пересечения медиан треугольника

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 363.

Медиана – это один из уникальных отрезков треугольника. Медиана имеет ряд свойств, полезных для решения задач, а точка пересечения медиан еще больше расширяет список этих свойств. О точке пересечения медиан, ее свойствах и пойдет речь сегодня.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан.

Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника. Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника.

Рис. 1. Медианы в тупоугольном треугольнике.

Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника. Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2

Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника. Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой (исключение – равнобедренный и равносторонний треугольники).

Рис. 2. Золотое сечение произвольного треугольника.

Приведем формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, и потому ее желательно запомнить.

$$m_c={{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\over{2}}$$

Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу. Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана. Полученный корень нужно поделить пополам.

Точка пересечения медиан

Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника имеет ряд свойств, полезных при решении задач:

Медиана точкой пересечения делится на отрезки в отношении 2:1 считая от вершины.
Три медианы, проведенные в треугольнике, делят его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называют треугольники с равной площадью. Сами по себе эти фигуры имеют мало общего, но численная характеристика площади у них совпадает.
Точка пересечения медиан в треугольнике называется центроидом и является центром тяжести треугольника.

Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл. Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры.

Это значит, что если установить иголку в эту точку, то фигура будет держаться на ней без прокола, исключительно за счет равновесия.

Что мы узнали?

Мы привели формулу вычисления медианы по 3 сторонам треугольника. Привели несколько свойств точки пересечения медиан в треугольнике. Поговорили о реальном физическом значение центроида треугольника.