Формула тонкой линзы

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 171.

Лучи, прошедшие через линзу, образуют изображение (реальное или мнимое) источника света. Для его построения используется специальное соотношение, называемое формулой тонкой линзы. Рассмотрим применение этой формулы.

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы связывает расстояние от линзы до источника $d$ и расстояние от линзы до изображения $f$ с фокусным расстоянием линзы $F$:

$${1\over d}+{1\over f}={1\over F}$$

Все величины, входящие в эту формулу, могут быть отрицательными. Знаки параметров ставятся в соответствии со следующими правилами:

Для собирающей линзы фокусное расстояние $F$ положительно, для рассеивающей линзы — отрицательно.
Расстояние от линзы до изображения $f$ положительно, если изображение действительное, и отрицательно, если оно мнимое.
Расстояние от линзы до источника $d$ положительно, если точка источника действительна, и лучи идущие от неё, расходятся. Если точка мнимая (лучи падают на линзу, сходясь к точке), то расстояние $d$ отрицательно.
Перед неизвестной величиной ставится знак «плюс».

Если после вычислений эта величина окажется отрицательной, то делается вывод, что данный объект мнимый (или линза является рассеивающей).

Отметим, что изображение (действительное или мнимое), которое дает линза, чаще всего имеет размер, отличный от исходного объекта. Различие размеров исходного объекта и изображения называется увеличением линзы $\Gamma$. Это значение равно:

$\Gamma = {|f| \over |d|}$

Рассмотрим применение формулы тонкой линзы на конкретных примерах.

Собирающая линза

Допустим, имеется собирающая линза оптической силой 2 дптр. На каком расстоянии от нее будет изображение предмета, находящегося на расстоянии 0,1 м от нее?

Рис. 2. Мнимое увеличенное изображение в собирающей линзе.

Напомним, что оптическая сила $D$ связана с фокусным расстоянием линзы $F$ соотношением:

$$D = {1\over F}$$

Из данной формулы получим, что при оптической силе 2 дптр фокусное расстояние линзы будет равно $F=0.5$м.

Подставляя данные, получим:

$${1\over 0.1}+{1\over f}={1\over 0.5}$$

Откуда $f=-0.125$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Это изображение находится перед предметом, дальше от линзы.

Изображение получилось мнимым потому, что предмет расположен слишком близко к линзе, ближе фокальной плоскости.

С помощью собирающей линзы можно получить и действительное изображение. Это произойдет, если расстояние от предмета до линзы будет больше фокусного. Например, для той же линзы, если предмет будет находиться на расстоянии 1 м, то изображение будет действительным. Проверим это. Подставив в формулу, получаем:

$${1\over 1}+{1\over f}={1\over 0.5}$$

Откуда $f=1$м. Знак указывает, что изображение предмета на самом деле является действительным. Изображение находится по другую сторону от линзы.

Рассеивающая линза

Теперь, допустим, что при том же расстоянии до предмета 0,1 м линза будет рассеивающей и иметь оптическую силу 2 дптр.

Рис. 3. Мнимое изображение в рассеивающей линзе.

Поскольку линза рассеивающая, фокусное расстояние следует брать отрицательным:

$${1\over 0.1}+{1\over f}={1\over -0.5}$$

Откуда: $f=-0.08333…$м. То есть изображение предмета оказывается мнимым. Оно находится между предметом и линзой.

Обычно считается, что рассеивающая линза дает только мнимое изображение. Однако, подставив в формулу $F<0$, можно заметить, что получить положительное $f$ всё-таки возможно, если $d$ будет достаточно мало по модулю и отрицательно. То есть лучи от предмета должны сходиться к линзе. Это можно сделать, например, используя еще одну достаточно сильную собирающую линзу. Расположив собирающую линзу перед рассеивающей, можно найти такое их взаимное положение, при котором изображение будет реальным и прямым. Именно так устроена простейшая подзорная труба. Ее увеличение равно отношению фокусных расстояний собирающей и рассеивающей линз.

Что мы узнали?

Формула тонкой линзы связывает три параметра: фокусное расстояние линзы, расстояние до предмета и расстояние до изображения. Все три величины могут быть как положительными, так и отрицательными. Если какая-то величина неизвестна, она принимается положительной, но в результате расчетов она может стать отрицательной, и это означает, что объект мнимый или линза рассеивающая.