Релятивистский закон сложения скоростей

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 68.

Одним из следствий постулатов Теории Относительности явилась зависимость расстояний от скорости движения. В результате релятивистский закон сложения скоростей заметно отличается от классического. Кратко рассмотрим этот закон.

Сложение скоростей и Теория Относительности

По классическим представлениям механики, если скорость материальной точки в принятой Системе Отсчета равна $v$, а скорость самой Системы Отсчета относительно покоящегося наблюдателя равна $v_{со}$, то скорость материальной точки относительно покоящегося наблюдателя равна:

$$v_{пок} = v + v_{со}$$

Рис. 1. Классическое сложение скоростей.

В соответствии с постулатами Теории Относительности, скорость света является константной для всех Систем Отсчета, а значит, если движущийся наблюдатель посылает световой сигнал в сторону движения, то для покоящегося наблюдателя скорость светового сигнала, в соответствии с этой формулой, должна превысить скорость света. А если световой сигнал посылается в противоположную сторону – то скорость светового сигнала должна быть меньше скорости света.

Возникает противоречие, которое в рамках Теории Относительности решается через изменение представлений о самом пространстве и времени.

Релятивистский закон сложения скоростей

Для определения высоких скоростей необходимо использовать не преобразования Галилея, а преобразованиями Лоренца. В этом случае противоречия не возникнет, но сам закон будет сложнее.

Если материальная точка в рассматриваемой движущейся Системе Отсчета за время $Δt$ пройдет расстояние $Δx$, то, согласно преобразованиям Лоренца, для покоящегося наблюдателя материальная точка переместится на расстояние:

$$Δx_{пок}={{Δx+v_{со}Δt}\over \sqrt{1-{v_{со}^2\over c^2}}}$$

Напомним, $v_{со}$ – это скорость Системы Отсчета относительно покоящегося наблюдателя. И произойдет это по часам покоящегося наблюдателя за время:

$$Δt_{пок}={{Δt+{v_{со}\over c^2}Δx}\over \sqrt{1-{v_{со}^2\over c^2}}}$$

Отношение этих величин равно:

$${Δx_{пок}\over Δt_{пок}}={Δx+v_{со}Δt\over {Δt+{v_{со}\over c^2}Δx}}$$

В правой части и в числителе и в знаменателе вынесем за скобки время $Δt$, и сократим их:

$${Δx_{пок}\over Δt_{пок}}={{Δx\over Δt}+v_{со}\over {1+{v_{со}\over c^2}{Δx\over Δt}}}$$

Заметим, что отношение $Δx\over Δt$ – это скорость материальной точки, измеренная в движущейся Системе Отсчета. А отношение {Δx_{пок}\over Δt_{пок}} – это скорость той же точки, измеренная покоящимся наблюдателем.

Таким образом, мы получаем формулу релятивистского закона сложения скоростей:

$$v_{пок}={v+v_{со}\over {1+{vv_{со}\over c^2}}}$$

Особенности релятивистского сложения скоростей

Из полученного закона можно сделать важные выводы.

Если скорости в формуле гораздо меньше скорости света ($v \ll c$ и $ v_{со} \ll c$), то релятивистский закон сложения скоростей превращается в классический.
Чем ближе скорости к скорости света, тем меньше значение играет их сложение. В пределе, если одна из скоростей равна скорости света – то независимо от того, какой будет вторая скорость, сумма скоростей все равно будет равна скорости света.
Скорость света – это максимальная скорость, с которой могут перемещаться материальные предметы и взаимодействия.

Рис. 3. Можно ли превысить скорость света.

Если объект нематериален, и направление передачи информации от него к наблюдателю не совпадает с направлением его движения – то видимая скорость движения такого объекта может превысить скорость света. Такими объектами являются, например, тень, точка пересечения режущих кромок ножниц или обычный солнечный зайчик.

Что мы узнали?

Из постулатов Теории Относительности следует, что классический закон сложения скоростей работает лишь на низких скоростях. На высоких скоростях необходимо пользоваться релятивистским сложением скоростей, выведенным на основе преобразований Лоренца. Из этого закона следует, что скорость света – это максимальная скорость, возможная в Природе.