Закон сложения скоростей

4.5

Средняя оценка: 4.5

Всего получено оценок: 109.

Для описания движения используются различные характеристики, одной из которых является скорость. Если требуется переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, возникает необходимость сложения скоростей. Кратко рассмотрим закон сложения скоростей в классической механике.

Необходимость сложения скоростей

В природе нередко бывают ситуации, когда не только материальная точка движется в принятой системе отсчета, но и сама система отсчета также не является неподвижной. Как найти скорость материальной точки относительно внешнего наблюдателя?

Рис. 1. Подвижная и неподвижная системы отсчета.

Типичный случай описанной ситуации — движение пловца, пересекающего водоем. Допустим, за время $Δt$ пловец проплывает расстояние $S_1$ в стоячей воде. Как найти скорость пловца относительно берега, если он будет плыть не в стоячей воде, а в реке, где вода движется и за то же время $Δt$ проходит расстояние $S_2$?

Интуитивно понятно, что если пловец будет плыть по течению, то его скорость будет больше (и он за то же время пройдет расстояние $S_1+S_2$) а если против — то меньше (и расстояние будет равно $S_1-S_2$). А что, если пловец поплывет поперек реки?

Данный пример показывает, что сложение скоростей должно производиться по специальным правилам, которые учитывают направление скорости. Рассмотрим их.

Закон сложения скоростей

Пловец, начав движение от берега под некоторым углом, за время $Δt$ проплывет расстояние $S_1$, фактически переместившись по вектору в направлении движения. Одновременно течение переместит его на расстояние $S_2$ по направлению вектора скорости воды. Получается, что от конца первого вектора необходимо отложить второй вектор, а пловец переместится от начала первого вектора до конца второго. Именно так происходит сложение векторов. То есть вектор, суммарно пройденный пловцом, равен:

$$\overrightarrow S=\overrightarrow S_1+\overrightarrow S_2$$

Рис. 2. Правило сложения векторов по треугольнику.

Таким образом, для определения перемещения точки, которая движется относительно движущейся системы отсчета, необходимо векторно сложить оба перемещения.

А если учесть, что скорость равна отношению перемещения ко времени, то, поделив обе части данного уравнения на $Δt$, мы в левой части получим искомую скорость:

$${\overrightarrow S\over Δt}=\overrightarrow v={\overrightarrow S_1\over Δt}+{\overrightarrow S_2\over Δt}$$

Два слагаемых, стоящих в правой части уравнения, — это ни что иное, как скорости пловца в стоячей воде и скорость реки.

Итак, мы получаем формулу закона сложения скоростей:

$$\overrightarrow v=\overrightarrow v_1+\overrightarrow v_2$$

Эта формула используется также при переходе от одной системы отсчета к другой с использованием преобразований Галилея.

Особенности сложения скоростей

Главная особенность закона сложения скоростей — необходимость применения правил векторной арифметики, известных из курса геометрии 10 класса. Каждая из скоростей должна проецироваться на оси координат, складываться или вычитаться, в зависимости от направления, а потом по результирующим составляющим находится величина и направление получающейся скорости.

В простых случаях можно обойтись правилами тригонометрии. Например, если известны две скорости и угол между ними, а требуется вычислить величину результирующей скорости (направление неважно), то можно воспользоваться теоремой косинусов:

$$v_{рез}=\sqrt {v_1^2+v_2^2+2v_1v_2cos\alpha}$$

Что мы узнали?

Сложение скоростей должно учитывать направление движения. Поэтому при сложении скоростей необходимо использовать правила векторного сложения: проецировать векторы на оси координат, складывать или вычитать их, а потом восстанавливать общий результат по получившимся проекциям. В простых случаях иногда можно использовать правила тригонометрии.