Периметр прямоугольного треугольника

Нахождение периметра прямоугольного треугольника мало чем отличается от нахождения периметра любой другой фигуры. Здесь не существует специализированной формулы, разница только лишь в подходах к решению задач.

Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника

Как уже говорилось ранее, специализированных формул периметра прямоугольного треугольника нет. Чтобы найти периметр нужно просто просуммировать длины всех трех сторон.

Рис. 1. Произвольный треугольник

Но для треугольника действуют тригонометрические отношения, теорема Пифагора и ряд специальных формул площади. Эти формулы открывают целый набор подходов к решению задач, которые не характерны для произвольной фигуры. Рассмотрим несколько вариантов нахождения периметра прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Периметр прямоугольного треугольника

Задача 1

  • В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче 1

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов. Значение площади уже есть, значит, нужно найти второй катет и гипотенузу. Обозначим катеты латинскими буквами a и b, а гипотенузу буквой c. Пусть а=6.

Тогда: $$S={1\over 2}*a*b=24$$

$$S={1\over 2}*6*b=24$$

$$3b=24$$

b=8

Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.

$$c^2=a^2+b^2$$

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:

P=a+b+c=10+8+6=24

Задача 2

  • В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.

Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.

В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.

Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:

$$Cos(BAC)={AB\over AC}={\sqrt{3}\over2}$$

$$AC={AB\over {cos(BAC)}}$$

$$AC={8\over{\sqrt{3}\over 2}}={16\over\sqrt{3}}=9,24$$ – значение округлим до сотых

BC найдем через значение тангенса.

$$tg(BAC)={BC\over AB}={1\over\sqrt{3}}$$

$$BC=AB*{1\over\sqrt{3}}={AB\over\sqrt{3}}$$

$$BC={8\over\sqrt{3}}=4,62$$

Вычисление периметра произведем по общей формуле:

P=8+9,24+4,62=21,86

Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.

Найдем BC через значение тангенса.

$$tg(ACB)={AB\over BC}={1\over\sqrt{3}}$$

$$BC={AB\over {1\over\sqrt{3}}}=AB*\sqrt{3}=8*\sqrt{3}=13,86$$

Гипотенузу найдем через значение синуса.

$$sin(ACB)={AB\over AC}={1\over 2}$$

$$AC={AB\over sin(ACB)}={AB\over {1\over 2}}=2*AB=2*8=16$$

Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.

Что мы узнали?

Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Имея какие данные, можно посчитать периметр прямоугольного треугольника?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 156.

Предметы