Периметр равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник занимает особое место среди треугольников. Для того, чтобы найти значение периметра, площади, углов или радиусов окружностей вписанной и описанной у равнобедренного треугольника, достаточно знать величину стороны. С одной стороны, это значительно облегчает решение, с другой составители задач редко дают значение стороны и приходится искать обходные пути решения.

Формула нахождения периметра равностороннего треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника вытекает из определений. Что такое периметр? Периметр это сумма всех сторон фигуры. Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Значит,для того, чтобы найти значение периметра достаточно умножить величину стороны на количество сторон:

P=3*a

Решим несколько разных по сложности задач, чтобы разобраться, какие проблемы могут встречаться на пути нахождения периметра.

Задача 1

  • В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти периметр треугольника.

Это самый простой вариант задачи. Достаточно подставить значение в формулу и получить результат. Такая задача не должна вызывать затруднений:

P=3*a=3*6=18

Задача 2

  • В равнобедренном треугольнике острый угол при основании равен 60 градусам, площадь треугольника равна $${64\over\sqrt{3}}$$.

Особое внимание нужно обращать на вид фигуры, который указан в условии задачи.

В данной задаче дан равнобедренный треугольник. Чтобы воспользоваться общей формулой, необходимо доказать, что этот равнобедренный треугольник является еще и равносторонним.

Обратим внимание на величину угла. Угол при основании равен 60. При этом углы у основания равнобедренного треугольника равны, а сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Значит у основания два угла по 60 градусов. Рассчитаем угол при вершине:

180-60-60=60 – угол при вершине так же равен 60 градусам.

Значит, данный треугольник будет равносторонним, так как все углы равны 60 градусам.

Углы по 60 градусов характерны только для равностороннего треугольника. Именно сочетание 3 равных сторон образует 3 равных угла. В любых других ситуациях, хотя бы один угол будет отличаться.

Для площади равностороннего треугольника имеется отдельная формула:

$$S=a^2*{\sqrt{3}\over 4}={64\over\sqrt{3}}$$ – где а значение стороны, которое нам и нужно выразить из этой формулы.

$$а^2={S\over{\sqrt{3}\over 4}}$$

$$a^2={4S\over\sqrt{3}}$$

$$a=\sqrt{4S\over\sqrt{3}}$$

$$a={\sqrt{4*{64\over\sqrt{3}^2}}\over\sqrt{3}}=\sqrt{4*64}=16$$

Подставим полученное значение в формулу:

P=3*a=3*16=48

Задача 3

  • В равностороннем треугольнике высота равна $$3*\sqrt{3}$$. Найти периметр треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче 3

Для данной задачи нужно воспользоваться методом решения, который часто используется в задачах с равнобедренным треугольником. Из любой вершины опустим высоту, которая будет медианой и биссектрисой.

В одном из получившихся треугольников выразим значение высоты через сторону с помощью теоремы Пифагора:

$$h^2=a^2-({a\over2})^2$$

$$h^2=a^2-{a^2\over4}$$

Вычтем подобные слагаемые:

$$h^2={3\over4}*a^2$$

Из получившейся формулы выразим значение стороны:

$$a^2={4\over3}*h^2$$

$$a=\sqrt{{4\over3}*h^2}$$

$$a=\sqrt{{4\over3}*(3*\sqrt{3})^2}$$

$$a=\sqrt{{4\over3}*(9*3)}$$

$$a=\sqrt{4*9}$$

a=6

Рис. 3. Периметр равностороннего треугольника

Подставим получившееся значение в формулу периметра равностороннего треугольника.

P=3*a=3*6=18

Что мы узнали?

Мы обсудили формулу для нахождения периметра равностороннего треугольника. Выделили проблемы, которые приходится решать при нахождении стороны равностороннего треугольника для дальнейшего решения задачи. Рассмотрели различные пути решения задач на нахождение периметра равностороннего треугольника.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Можно ли найти периметр равностороннего треугольника, зная только его высоту?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    
  • Марго Дудченко
    4/5
  • Татьяна Коробейникова
    5/5
  • Наташа Новак
    4/5
  • Марина Безобразова
    4/5
  • Даниил Толыпин
    5/5
  • Ибрагим Вафя-Сулим
    5/5
  • Наталия Левина
    4/5
  • Исмаил Тагиев
    5/5

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 298.

Предметы