Образовака💯 Математика5 классНатуральные числа

Простые числа

4.1

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 503.

Простые числа часто вызывают затруднение в теме дробей или определения НОД. На самом деле ничего сложного в этой теме нет, проблему представляет новый для учеников подход к решению задач. Разберемся в вопросе подробнее, чтобы не отвлекаться на него в будущем.

Составляющие числа

Любое число можно разложить на составляющие: множители или слагаемые. Но, если слагаемые можно придумывать разные, а наиболее маленьким целым слагаемым будет единица, то как быть с множителями? Ведь в теории можно бесконечно раскладывать число на множители, равные единице – результат от этого не измениться.

Для того, чтобы не допускать недомолвок, были выработаны правила разложения на множители. Их всего два:

Множитель равный единицы может встречаться в разложении только один раз. Использование этого множителя означает, что разложение окончено. После 1 не может следовать другой множитель – это последнее число разложения.
В качестве множителей для разложения числа можно использовать только простые числа.

Возникает вопрос, какие же числа считать простыми.

Простые числа

По определению простым числом зовется любое число, которое делится только на 1 и на саму себя. То есть в разложении такого числа на множители будет только два значения: само число и 1.

Простые числа используются для нахождения НОК и НОД чисел. Эти показатели, в свою очередь, очень важны для определения знаменателей при сложении или вычитании дробей, а также при определении делимости чисел.

Сложные числа

Если есть простые числа, логично будет предположить, что существуют и сложные. Сложными числами зовутся числа, состоящие из перемноженных простых чисел. Например, числа 2 и 3 являются простыми, так как делятся только на 1 и на самих себя. Значит, если мы их перемножим получится сложное число 6, которое состоит из перемноженных 2 и 3.

Сложные числа иначе зовутся составными, потому что состоят из нескольких простых чисел.

Задача

Весь список простых чисел можно найти в таблице простых чисел. Если числа в таблице нет, то оно считается сложным или составным.

Таблица начинается с числа 2. Это значит, что числа 0 и 1 застыли между понятиями простых и сложных чисел. Число ноль в составе разложения означает, что итогом станет ноль, поэтому его использование понятно. А вот 1 просто не входит в понятие простых чисел, ведь если раскладывать по правилам то получится, что 1=1*1. То есть число делиться на само себя и 1. Но в этом случае мы используем для разложения 2 единицы, что запрещено. Поэтому 1 не относят ни к одной из групп чисел.

Решим небольшую задачу.

Нужно определить, будет ли делиться число 1458 на 27. Для этого, нужно понять, входит ли в состав простых множителей разложения числа 1458 число 27.

Для этого разложим число 27:

27=3*3*3

А теперь разложим число 1458:

1458:3=486

486:3=162

162:3=54 – на этом можно остановить разложение, поскольку уже ясно, что три 3 входит в состав числа. Нужно заметить, что по правилам разложения, мы должны были начинать с деления на число 2. Только когда на 2 делить уже было нельзя, нужно было преступать к 3. Но за счет того, что мы заранее знали, какие числа нам нужно найти в составе разложения, получилось сэкономить время на решении.

Задача решена и это главное, если при этом удалось сэкономить время, то у ученика останется больше времени для решения других задач.

Что мы узнали?

Мы поговорили о понятии простых чисел. Рассказали, откуда взялось такое разделение на числа и зачем оно нужно. Поговорили о числах, которые в это разделение не входят. Решили небольшую задачу на использование простых чисел и показали, как можно сэкономить время на решении таких задач.