Частота колебаний маятника

Маятник – простейшая колебательная система, в которой можно изучать особенности колебательных процессов. Колебания, происходящие в маятнике, обладают рядом характеристик, важнейшей из которых является частота. Рассмотрим частоту колебаний маятника более подробно.

Маятник и процессы, происходящие в нем

Изначально под термином «маятник» понимался груз, подвешенный на нити, который может совершать свободные качания под действием силы тяжести. Такой маятник называется «нитяным». Идеальной моделью нитяного маятника является математический маятник, который отличается отсутствием потерь, точечным размером массы и нерастяжимой нитью.

Нитяной маятник

Рис. 1. Нитяной маятник.

Сила тяжести в маятнике может быть заменена на силу упругости. Такой маятник называется «пружинным».

Как показывает опыт, пружинный маятник по своему поведению очень мало отличается от нитяного, являясь его близким аналогом. Аналогом ускорения свободного падения в нитяном маятнике является жесткость пружины в пружинном маятнике, аналогом длины является масса груза.

Пружинный маятник

Рис. 2. Пружинный маятник.

В обоих маятниках свободные колебания возникают потому, что при выведении их из равновесия возникает сила, направленная в сторону равновесия, тем большая, чем больше отклонение.

В точке наибольшего отклонения маятник обладает потенциальной энергией, которая по мере движения превращается в кинетическую. В точке равновесия потенциальная энергия равна нулю, а вся энергия маятника имеет кинетическую форму. Поэтому маятник не может остановиться, и будет продолжать движение, при этом кинетическая энергия будет уменьшаться переходя в потенциальную. В противоположной точке отклонения вся кинетическая энергия перейдет в потенциальную, и станет равной нулю. Маятник начнет обратный ход, при котором потенциальная энергия снова будет переходить в кинетическую.

Идеальный маятник не имеет потерь энергии, а поэтому колебания будут незатухающими.

Частота колебаний маятника

Для получения формулы, выражающей частоту колебаний маятника, вспомним, что колебания совершаются под действием силы, тем большей, чем больше отклонение от равновесия. Например, для пружинного маятника с жесткостью пружины $k$ сила будет равна $F=-kx$, а значит ускорение, приобретаемое грузом, по второму закону Ньютона будет равно:.

$$a=-{kx\over m}$$

Ускорение является второй производной координаты. То есть:

$$x”=-{k\over m}x$$

В высшей математике доказывается, что единственная функция, удовлетворяющая данному условию – это круговая функция (синус или косинус):

$$x(t)=A cos \sqrt{k\over m}t$$

Сравним эту формулу с формулой гармонических колебаний:

$$x(t)=A cos( \omega t+\varphi)$$

Можно видеть, что коэффициент $\sqrt {k\over m}$ представляет собой круговую частоту. А значит, частота колебаний маятника равна:

$$\nu={\omega \over 2\pi}={1\over 2\pi}\sqrt {k\over m}$$

Процессы, происходящие в нитяном маятнике, очень близки к процессам, происходящим в пружинном. Поэтому частота колебаний нитяного маятника имеет формулу такого же вида, только в ней жесткость пружины является аналогом ускорения свободного падения, а аналогом массы является длина маятника:

$$\nu={1\over 2\pi}\sqrt {\mathrm{g}\over l}$$

На графике частота колебаний маятника равна количеству полных колебаний, происходящих в единицу времени:

График колебаний маятника

Рис. 3. График колебаний маятника.

Что мы узнали?

И в нитяном и в пружинном маятнике колебания возникают потому, что при выведении их из положения равновесия возникает сила, стремящаяся вернуть маятник в равновесие, тем большая, чем больше отклонение. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию – это круговая функция, частоту которой можно получить из ее формулы или графика.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Отличия математического маятника от реального в том, что …

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 86.

Предметы