Период колебаний пружинного маятника

Одной из простейших колебательных систем, удобных для изучения, является пружинный маятник. Рассмотрим его подробнее, получим формулу периода колебаний.

Пружинный маятник

Идеальный пружинный маятник представляет собой некоторую точечную массу $m$, которая закреплена на одном конце пружины с постоянной жесткостью $k$, а другой конец пружины – закреплен к неподвижной опоре. Больше никакие силы на пружинный маятник не действуют, и он способен к совершению свободных незатухающих колебаний.

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник.

Уравнение движения пружинного маятника

Пусть начало координат находится в точке покоя маятника. Тогда, если маятник выведен из состояния равновесия на расстояние $x$, со стороны пружины на него начинает действовать сила $F=-kx$.

Знак «минус» означает, что направление действия этой силы противоположно смещению маятника.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение:

$$a=-{kx\over m}$$

Скорость – это производная координаты. А ускорение – производная скорости. Следовательно, ускорение – это вторая производная координаты. Получим уравнение:

$$x”=-{k\over m}x$$

То есть, вторая производная координаты пропорциональна самой координате, взятой с противоположным знаком. Это дифференциальное уравнение, и в высшей математике доказывается, что единственная функция, являющаяся его решением – это круговая функця (синус или косинус).

Полное же решение данного уравнения выглядит следующим образом:

$$x(t)=A cos \sqrt{k\over m}t$$

Если взять вторую производную этой функции, то можно убедиться, что она равна самой себе, с противоположным знаком и необходимым коэффициентом.

Период колебаний маятника

Сравним полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний:

$$x(t)=A cos( \omega t+\varphi)$$

Можно видеть, что фаза $\varphi$ в уравнении координаты движения маятника равна нулю, а коэффициент $\sqrt {k\over m}$ представляет собой круговую частоту. Учитывая формулу, связывающей круговую частоту и период, получим формулу периода колебаний пружинного маятника:

$$T={2\pi \over \omega}=2\pi\sqrt {m\over k}$$

Действительно, чем больше масса пружинного маятника, тем дольше будут совершаться колебания. А чем больше жесткость пружины, тем период колебаний будет меньше. Но величины эти связаны с периодом не прямо, а через коренную зависимость, то есть, для увеличения периода маятника вдвое, надо либо увеличить массу маятника вчетверо, либо во столько же раз уменьшить жесткость пружины.

Период колебаний пружинного маятника

Рис. 2. Период колебаний пружинного маятника.

В реальности на маятник всегда действует сила тяжести, кроме того, в нем происходят потери, связанные с трением и нагревом пружины. Поэтому, его колебания будут затухающими, а их период будет немного отличаться от расчетного. Наиболее близким к идеальному пружинному маятнику является механизм часового балансира.

Часовой балансир

Рис. 3. Часовой балансир.

Что мы узнали?

Пружинный маятник – это точечная масса, двигающая под воздействием пружины постоянной жесткости. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню из отношения его массы к жесткости пружины.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Пружинный маятник - это…

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.

    Оценка доклада

    Средняя оценка: 4.8. Всего получено оценок: 7.

    Предметы