Уравнение вынужденных колебаний

Колебательные процессы широко распространены в Природе и в деятельности человека. Среди них немалая часть является вынужденными. Рассмотрим их особенности, выведем математическое уравнение таких колебаний.

Механизм возникновения вынужденных колебаний

Колебания, совершаемые только под действием внутренних сил системы, называются свободными колебаниями. Поскольку в любой системе есть некоторые потери энергии, свободные колебания практически всегда являются затухающими. Для того, чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась, необходимо циклически подводить к системе энергию. Колебания, совершаемые под действием внешних сил называются вынужденными.

Примеры вынужденных колебаний

Рис. 1. Примеры вынужденных колебаний.

Например, для случая пружинного маятника, внешнее воздействие должно сперва двигать маятник в одном направлении из точки равновесия, но, как только маятник из него выходит, направление воздействия должно сменяться, и действовать в противоположном направлении. Когда маятник оказывается отклонен в другом направлении, внешнее воздействие снова должно двигать маятник в первоначальную сторону.

Другой пример – процессы в электрическом колебательном контуре. Здесь также подведение энергии должно изменяться, в зависимости от направления тока в контуре в данный момент.

Уравнение вынужденных колебаний

Для описания вынужденных механических колебаний рассмотрим пружинный маятник с жесткостью пружины $k$, способный колебаться в вязкой среде. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения (коэффициент пропорциональности $r$) и направлена в противоположном направлении.

Пружинный маятник

Рис. 2. Пружинный маятник.

Подведем к маятнику внешнее пульсирующее усилие. То есть, внешняя сила должна изменяться по гармоническому закону:

$$F=F_0cos\omega t$$

Под действием этой внешней силы маятник выйдет из положения равновесия, и приобретет некоторую скорость. Следовательно, на него начнут действовать еще две силы:

  • cила упругости пружины $F_{упр}=-kx$;
  • cила сопротивления среды $F_{сопр}=-rv$.

Ускорение, получаемое маятником, согласно Второму Закону Ньютона, прямо пропорционально равнодействующей всех трех сил, и обратно пропорционально массе маятника:

$$a={F+F_{упр}+F_{сопр}\over m}={F_0cos\omega t-kx-rv\over m}$$

Учтем, что скорость – это производная перемещения, а ускорение – производная скорости (и вторая производная перемещения). После преобразований получим:

$$x”+{r\over m}x’+{k\over m}x=F_0cos\omega t$$

Мы получили дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, описывающее рассмотренную систему. Данное является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, оно решается в курсе высшей математики. Оно имеет вид:

$$x(t) = x_{св}(t)+x_{вын}(t)$$

где:

  • $x_{св}(t)=А_0e^{-\beta t}cos(\sqrt {\omega^2-\beta^2}t+\varphi_0)$ – уравнение затухающих колебаний;
  • $А_0$ – начальная амплитуда колебаний;
  • $\varphi_0$ – начальная фаза колебаний;
  • $\beta = {r\over {2m}}$ – коэффициент затухания;
  • $\omega = \sqrt {k \over m}$ – собственная частота колебаний маятника;
  • $x_{вын}(t)=Аcos(\omega_{вын}t+\varphi_{вын})$ – уравнение вынужденных колебаний.

Резонанс

Компонента $x_{св}(t)$ в реальных системах за время $1\over \beta$ уменьшится практически до нуля. А значит, уравнение вынужденных колебаний будет представлять из себя гармонические колебания с вынуждающей частотой, и некоторой амплитудой $A$, пропорциональной вынуждающей силе и зависящей также от близости вынуждающей частоты к собственной частоте колебаний маятника. Чем дальше вынуждающая частота к собственной частоте маятника, тем меньше будет значение $A$. При равенстве этих частот амплитуда резко возрастает, пока подводимая энергия не сравняется с потерями (они обычно растут при возрастании амплитуды).

Данное явление называется резонансом.

Резонансные кривые

Рис. 3. Резонансные кривые.

Что мы узнали?

Уравнение вынужденных колебаний представляет собой гармоническую функцию, имеющую частоту вынуждающей силы. Амплитуда колебаний пропорциональна вынуждающей силе, и максимальна, когда вынуждающая частота равна собственной частоте колебаний системы.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Вынужденные колебания, это колебания, совершаемые под действием…

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 78.

Предметы