Уравнение гармонических колебаний

В Природе существует огромное множество различных колебаний. Все их можно описать с помощью сумм простейших колебаний, называемых гармоническими. Выведем уравнение гармонических колебаний.

Условия существования колебаний

Колебательные процессы широко распространены в окружающем нас мире.

Колебания в природе и технике

Рис. 1. Колебания в природе и технике.

Независимо от природы рассматриваемых явлений и систем, колебания в этих системах могут возникать при выполнении следующих условий.

  • В системе должно существовать некоторое единственное положение равновесия;
  • Система должна быть выведена из равновесия;
  • Должна существовать сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия;
  • Потери энергии в системе либо должны быть невелики, либо должны постоянно восполняться из внешних источников.

Из анализа данных условий можно составить уравнение, описывающее процессы, проходящие в системе.

Если сила стремится вернуть систему в положение равновесия, значит, эта сила пропорциональна (через коэффициент пропорциональности $k$) отклонению системы от этого положения. Направлена она против отклонения, значит, имеет противоположный знак. То есть, для механического случая:

$$F=-kx$$

Из механики известно, что ускорение движения материальной точки пропорционально силе, воздействующей на материальную точку. Следовательно:

$$a=-kx$$

Ускорение – это производная скорости. А скорость – производная расстояния. То есть, вторая производная расстояния должна быть пропорциональна самому расстоянию, взятому со знаком «минус».

Получаем:

$$x”=-kx$$

Это дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс.

Уравнение колебаний

Полученное дифференциальное уравнение решается в высшей математике. Его единственным решением является круговая функция (синус или косинус).

$$x(t)=A sin(\sqrt kt+\varphi)$$

Проверим, так ли это ?

Для нахождения скорости надо взять производную. Получим:

$$v(t)=A\sqrt k cos(\sqrt kt+\varphi)$$

А если взять вторую производную, получим ускорение:

$$a(t)=-Ak sin(\sqrt kt+\varphi) = -kx(t)$$

В итоге мы видим, что формула ускорения оказалось равной первоначальной функции расстояния, взятой с противоположным знаком, и умноженным на коэффициент $k$. То есть, можно сделать вывод, что исходное дифференциальное уравнение решено правильно.

Гармонические колебания

Колебания, совершающиеся по закону круговых функций, впервые привлекли внимание еще в античности, при изучении закономерностей музыкальной гармонии. И поэтому такие колебания и функции называются гармоническими.

Рис. 2. Гармонические колебания.

Позже понятие гармонических функций было расширено высшей математикой, а также было доказано, что любые колебания можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций.

Поскольку гармонические функции легко поддаются математическому описанию и различным математическим преобразованиям, представление процессов в виде бесконечных сумм таких функций очень широко используется в науке, и называется спектральным анализом. Сложные функции разлагаются на простые гармонические компоненты подобно тому, как белый свет разлагается на радугу цветов в спектре.

Разложение света в спектр

Рис. 3. Разложение света в спектр.

Что мы узнали?

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний связывает ускорение (вторую производную расстояния) с самим расстоянием через коэффициент пропорциональности $k$, взятым со знаком минус. Решением этого уравнения является круговая (гармоническая) функция – синус или косинус.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Для возникновения колебаний в системе должна быть сила, стремящаяся…

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 131.

Предметы