Образовака💯 Математика5 классУмножение и деление натуральных чисел

Формула площади прямоугольника через диагональ

4.8

Средняя оценка: 4.8

Всего получено оценок: 243.

Все с начальной школы знают формулу площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется произведению длины на ширину. Но иногда бывает, что узнать длину или ширину не представляется возможным, зато есть значения диагоналей.

Определения

Поговорим о нескольких определениях, которые необходимы для того, чтобы разобраться в этой теме.

Прямоугольник – это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны, а углы равняются 90 градусам. Частным случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны между собой.

Что такое диагональ? Диагональ – это отрезок, который соединяет противолежащие стороны фигуры. Диагональ существует во всех фигурах, число вершин которых больше 3.

У треугольника диагоналей нет, а у тетраэдра или додекаэдра есть.

Четырехугольники подразделяются на выпуклые и невыпуклые. Выпуклые четырех угольники определяют по следующему правилу: через любые две соседние вершины фигуры проводят прямую. Если фигура лежит по одну сторону от прямой, то четырехугольник выпуклый, если нет – невыпуклый. Все известные четырехугольники являются выпуклыми.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника обычно определяют как произведение длины на ширину. Эта формула выводится через разделение фигуры диагональю на два прямоугольных треугольника. Площадь каждой из фигур это половина произведения катетов. Общая площадь двух фигур целое произведение катетов. Этими катетами как раз и являются длина и ширина прямоугольника.

Но случаются ситуации, когда приходится искать площадь, но значений длины или ширины нет. Что делать тогда? Воспользоваться общей для всех четырех угольников формулой и найти площадь прямоугольника через диагонали.

Площадь любого выпуклого четырех угольника равняется произведению диагоналей на синус угла между ними. Диагонали прямоугольного треугольника равны между собой, поэтому значения угла и одной диагонали хватит для нахождения площади.

$$S={1\over2}*d^2*sin(a)$$

Внимательно следите за тем, какой именно угол дан в условиях задачи. Необходим острый угол при диагоналях. Если тупой, то можно воспользоваться формулой смежного угла. Если дан какой-либо из углов между стороной и диагональю, то придется искать другие пути решения.

Возможны ситуации, когда нужно найти площадь, а известен угол между диагональю и стороной и значение диагонали и стороны. Тогда нужно найти площадь прямоугольного треугольника через формулу с применением синуса и удвоить ее.

В этом случае площадь прямоугольника будет равна:

S=d*b*sin(a)

Что мы узнали?

Мы поговорили о площади прямоугольного треугольника. Выделили отдельно формулу площади прямоугольника через диагонали. Поговорили о случаях, когда применение этой формулы невозможно или затруднено и привели альтернативный вариант решения.