Площадь

В школьном курсе математики 4-5 класса рассматривается понятие площади. Это значение часто встречается как в реальной жизни, где мы постоянно интересуемся площадью квартиры, так и при решении задач.

Определение понятия

Площадь указывает на размер плоскости, которую занимает фигура. Если вырезать любую фигуру из листа бумаги, положить на поверхность, а потом обвести карандашом, мы получим визуальное воплощение характеристики площади.

Площади двух абсолютно разных фигур могут быть одинаковыми. Почему так происходит? Потому что площадь – это характеристика. Можно провести простую аналогию с деньгами: сто грамм конфет и полкилограмма крупы стоят одинаково, но это совершенно разные вещи. Так треугольник и прямоугольник могут иметь одинаковую площадь. Фигуры, имеющие одинаковую площадь, называют равновеликими.

Характеристики понятия

Площадь имеет несколько характеристик:

  • Положительность. Площадь не может быть отрицательной, как не может быть отрицательным пространство. Есть единственный случай, когда площадь стремится к нулю: измерение площади точки.
  • Нормируемость.
    Что это значит? Это значит, что у площади есть какая-то норма, с которой и сравнивают поверхность любой фигуры. Норма площади это квадрат со сторонами 1 на 1. Если это квадрат со сторонами 1 на 1 см, то единица измерения площади будет называться см квадратный и т.д.
  • Если две фигуры объединить, так, что они не будут иметь общих внутренних точек, то есть совместить фигуры по какой-либо стороне, то площадь получившейся фигуры будет равна сумме площадей двух изначальных фигур.

На практике площадь можно определять с помощью палетки или специального измерительного прибора – планиметра.

Площади простых фигур

Формула для определения площади зависит от фигуры. Обозначение площади, чаще всего, остается неизменным – это латинская заглавная буква “S”. Это не правило, просто одна из традиций обозначения площади. В высшей математике, теплотехнике и многих других дисциплинах площадь могут обозначать другими буквами.

Рассмотрим наиболее популярные формулы определения площадей:

  • Прямоугольник. S=a*b – произведение длины на ширину.
  • Треугольник. $S={1\over2}a*h$ – половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
  • Круг. $S=\pi*r^2$ – отдельно нужно отметить, что окружность площади иметь не может. Только круг.

Высота в произвольном треугольнике

Рис. 1. Высота в произвольном треугольнике.

Предварительно нужно убедиться в том, что параметры фигуры находятся в одинаковых единицах измерения. Например, когда ширина прямоугольника представлена в миллиметрах, а длина в сантиметрах, следует перевести сантиметры в миллиметры и только потом использовать формулу.

Площадь прямоугольника

Рис. 2. Площадь прямоугольника.

Что такое площадь квадрата? Это сторона фигуры, возведенная в квадрат. Потому что квадрат это прямоугольник, длина и ширина которого равны:

$$S=a^2$$

Если у квадрата одна сторона равняется 100 м, то его площадь равна одному гектару. Эту единицу используют, когда необходимо оценить размеры земной поверхности при распределении сельскохозяйственных угодий:

$$1га=100м∙100м=10 000м^2$$

Площади полей могут также измерять в арах, что в народе называют «соткой», потому что один ар – это квадрат, сторона которого равняется 10 м, а его площадь соответственно 100 $м^2$.

$$1 ар=100м^2$$.

Площадь произвольной фигуры

Площадь сложной фигуры можно определить, просуммировав площади ее частей. Для этого нужно просто разделить произвольную геометрическую фигуру на простые составляющие так, чтобы можно было легко определить их квадратуры.

Площадь сложной фигуры

Рис. 3. Площадь сложной фигуры.

Фигуру на рисунке 3 можно разбить на 12 квадратов со сторонами 1 см. Тогда площадь каждого квадрата будет равняться $1см^2$. Получается, что площадь рассматриваемой фигуры будет $12 см^2$.

Что мы узнали?

Мы познакомились с понятием площади. Узнали, что для каждой фигуры есть свой метод определения площади. Важно, чтобы основные параметры фигуры были выражены в одних и тех же единицах.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 212.

Предметы