Упрощение выражений

Упрощение выражений – это возможность быстро посчитать достаточно сложный пример или свернуть сложный многочлен, выведя за скобки некоторые его члены. Навыки упрощения помогают в решении уравнений, развитии умения быстрого счета и сокращении дробей. Поговорим подробнее о методах упрощения численных выражений и многочленов.

Распределительное свойство умножения

Распределительное свойство геометрии состоит в том, что при умножении суммы на число, можно умножить каждое из слагаемых на это число, а полученные результаты сложить. Благодаря этому свойству можно раскрывать скобки в некоторых выражениях.

Раскроем скобки в следующем примере: $31а(2+3с)=62а+93ас$

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойства гласит: при умножении трех чисел умножать одно число на другое можно в любом порядке.

Например: $12*30*5=12*5*30=60*30=1800$

Приведение подобных членов

Любой многочлен состоит из одночленов. Одночлены это произведение числа и буквы. Несколько одночленов с одинаковой буквенной частью могут приведены, то есть их числовые коэффициенты могут быть сложены или вычтены.

Приведем пример:

$$56а+7с-45с+74а+в-54х=130а-38с+в-54х$$

Для удобства лучше подчеркивать каждый одночлен с одинаковой буквенной частью чертой. Просто, чтобы не пропустить сходные одночлены. Привели слагаемые – подчеркнули. Последовательность и внимательность позволят не допустить ошибок. А со временем опыт позволит выполнять операции в разы быстрее.

Вынесение за скобки

Еще один прием, позволяющий быстро упростить многочлен это вынесение за скобки. Для того, чтобы им воспользоваться необходимо найти общий член у слагаемых в формуле и вынести его за скобку.

Для примера сократим дробь $${{9а^2+9ас+ав+вс}\over{9а+в}}$$

Для начала просто выпишем числитель. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. А потом вынесем за скобки общий член.

$а^2+9ас+ав+вс=(9а^2+9ас)+(ав+вс)= 9а({9а^2\over9а}+{9ас\over9а})+в({ав\overв}+{вс\overв})=$

$$9а(а+с)+в(а+с)$$

В результате вынесения образовался еще один общий множитель (а+с) Вынесем его за скобки.

$$9а(а+с)+в(а+с)=(9а+в)(а+с)$$

Запишем начальное и конечное выражение.

$$9а^2+9ас+ав+вс=(9а+в)(а+с)$$

Теперь снова запишем дробь. Сократим ее для записи в ответ.

$${{(9а^2+9ас+ав+вс)}\over{9а+в}}= {(9а+в)(а+с) \over(9а+в)}=а+с$$

В результате большая дробь превратилась в маленький многочлен. Главное не бояться размеров выражений и пробовать разные варианты решений.

Пример

Для закрепления знаний решим сложный пример.

Необходимо упростить выражение:

$${{а(b+d)+(b^2+bd+d^2)-3d^2}\over{(a+b)(b+d)}}+{{2d^2}\over{(a+b)(b+d)}}$$

Первое, что сразу же бросается в глаза, – это одинаковые знаменатели у обеих дробей. Значит, сложим числители под одной чертой дроби.

$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2}\over{(a+b)(b+d)}}*{2d^2\over{(a+b)(b+d)}}=$$

$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2}\over((a+b)(b+d))}$$

Скобку b+d оставим на прежнем месте, потому что такая же есть в знаменателе. Может быть удастся ее сократить. Приведем подобные слагаемые и посмотрим, сможем ли мы выделить общий множитель в числители. Рассматривать его будем отдельно от знаменателя.

$$а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2= а(b+d)+b^2+bd$$

Сразу видно, что у двух свободных одночленов имеется общий множитель b

$$a(b+d)+b^2+bd=a(b+d)+b(b+d)=(a+b)(b+d)$$ – а это и есть знаменатель дроби. Значит, дробь можно сократить

$${{а(b+d)+b^2+bd+d^2-3d^2+2d^2}\over{(a+b)(b+d)}}= {(a+b)(b+d)\over{(a+b)(b+d)}}=1$$

Вот и все.

Очень часто при упрощении выражений получается небольшой многочлен, 1 или 0, но это не значит, что других результатов быть не может. Просто так легче сделать первые шаги в обучении данному навыку.

Если в результате решения получается что-либо «простое», то сразу возникает уверенность в собственных силах. Специальной формулы нет хотя есть таблицы формул сокращенного умножению, которые начинают учить примерно с математики 5 класса.

Что мы узнали?

Мы узнали, какие методы существуют для упрощения выражений и разобрали эти методы и алгоритмы на практике. Решили несколько примеров, подробно разобрав алгоритм размышлений при решении.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 114.

Предметы